Scalars vs Vectors

As you saw in the previous example problems, the vector nature of momentum plays a significant role in problem-solving and your ability to do operations with vectors will be important throughout the course. I encourage all students to take a moment to review how to add vectors in two dimensions by using scaled drawings as well as with vector components. 

Go to vector review. 

 

What is a scalar quantity? Give two examples.

A scalar quantity is a measurement that has magnitude only. Examples include time,energy and mass.


What is a vector quantity? Give two examples.

 vector quantity has both magnitude and direction. Examples of vectors include velocity, force, displacement, momentum and acceleration.


Calculate the momentum of a 70.0 kg person travelling west at 5.0 m/s. Remember to use the GRASP method of problem-solving to communicate your understanding of the problem.

Given:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»m«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mn»70«/mn»«mo».«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»k«/mi»«mi»g«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mover»«mi»v«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«mo».«/mo»«mn»0«/mn»«mfrac»«mi»m«/mi»«mi»s«/mi»«/mfrac»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mi»W«/mi»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mo».«/mo»«mn»0«/mn»«mfrac»«mi»m«/mi»«mi»s«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Required:

The momentum of the person, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover»«mi»p«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/math»
Analysis and Solution:

Let west be the negative direction.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover»«mi»p«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«mo»=«/mo»«mi»m«/mi»«mover»«mi»v«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mn»70«/mn»«mo».«/mo»«mn»0«/mn»«mi»k«/mi»«mi»g«/mi»«mo»)«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mo».«/mo»«mn»0«/mn»«mfrac»«mi»m«/mi»«mi»s«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«mo»§#215;«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#160;«/mo»«mi»k«/mi»«mi»g«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mfrac»«mi»m«/mi»«mi»s«/mi»«/mfrac»«/math»
Paraphrase: The momentum of the person is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»3«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«mo»§#215;«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#160;«/mo»«mi»k«/mi»«mi»g«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mfrac»«mi»m«/mi»«mi»s«/mi»«/mfrac»«/math»west.

A motorcycle has a velocity of 95 km//h [N] and a momentum of 7250 kg m/s [N]. Determine the mass of the motorcycle.

Given:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mover»«mi»p«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mn»7250«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»k«/mi»«mi»g«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mfrac bevelled=¨true¨»«mi»m«/mi»«mi»s«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mover»«mi»v«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»95«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»k«/mi»«mi»m«/mi»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mi»N«/mi»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»95«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»k«/mi»«mi»m«/mi»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mi»N«/mi»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»1000«/mn»«mi»m«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mi»k«/mi»«mi»m«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#183;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»3600«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»s«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»26«/mn»«mo».«/mo»«mn»38«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mfrac bevelled=¨true¨»«mi»m«/mi»«mi»s«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Required:

The mass of the person, m
Analysis and Solution:

Let north be the positive direction.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mover»«mi»p«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»m«/mi»«mover»«mi»v«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»7250«/mn»«mi»k«/mi»«mi»g«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mfrac bevelled=¨true¨»«mi»m«/mi»«mi»s«/mi»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»m«/mi»«mo»)«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»26«/mn»«mo».«/mo»«mn»3«/mn»«mover»«mn»8«/mn»«mo»§#175;«/mo»«/mover»«mfrac bevelled=¨true¨»«mi»m«/mi»«mi»s«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#160;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»i«/mi»«mi»v«/mi»«mi»i«/mi»«mi»d«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»b«/mi»«mi»o«/mi»«mi»t«/mi»«mi»h«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»s«/mi»«mi»i«/mi»«mi»d«/mi»«mi»e«/mi»«mi»s«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»b«/mi»«mi»y«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»26«/mn»«mo».«/mo»«mn»3«/mn»«mover»«mn»8«/mn»«mo»§#175;«/mo»«/mover»«mfrac bevelled=¨true¨»«mi»m«/mi»«mi»s«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»m«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»7250«/mn»«mi»k«/mi»«mi»g«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mfrac bevelled=¨true¨»«mi»m«/mi»«mi»s«/mi»«/mfrac»«/mrow»«mrow»«mn»26«/mn»«mo».«/mo»«mn»3«/mn»«mover»«mn»8«/mn»«mo»§#175;«/mo»«/mover»«mfrac bevelled=¨true¨»«mi»m«/mi»«mi»s«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mrow»«mn»2«/mn»«mo».«/mo»«mn»747«/mn»«mo»§#215;«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»k«/mi»«mi»g«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»s«/mi»«mi»i«/mi»«mi»g«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»i«/mi»«mi»g«/mi»«mi»s«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo».«/mo»«mn»7«/mn»«mo»§#215;«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»k«/mi»«mi»g«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Paraphrase:
The mass of the person is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo».«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«/mtd»«mtd»«mn»7«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»§#215;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«/mtd»«mtd»«mn»10«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«/mtd»«mtd»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»2 k g

The following diagram shows a ship being towed out of a harbour by two tugboats.


The momentum of the ship is 9.70 x 10 7 kg · m/s [221°].  What is the component of the momentum provided by tugboat A?  What is the component of the momentum provided by tugboat B?

Given

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mover»«mi»p«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«mrow»«mi»s«/mi»«mi»h«/mi»«mi»i«/mi»«mi»p«/mi»«/mrow»«/msub»«mo»=«/mo»«mn»9«/mn»«mo».«/mo»«mn»70«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#215;«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mn»7«/mn»«/msup»«mi»k«/mi»«mi»g«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mfrac bevelled=¨true¨»«mi»m«/mi»«mi»s«/mi»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mo»[«/mo»«msup»«mn»221«/mn»«mo»§#8728;«/mo»«/msup»«mo»]«/mo»«mo»§#160;«/mo»«/math»

 Required

The component of the momentum provided by tugboat A,  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mover»«mi»p«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«mi»x«/mi»«/msub»«/math» .

The component of the momentum provided by tugboat B,  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mover»«mi»p«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«mi»y«/mi»«/msub»«/math» .

Analysis and solution

The momentum of the ship is provided by two tugboats. Tugboat A provides the component in the negative x-direction. Tugboat B provides the component in the negative y-direction. The component can be determined by using trigonometry.


«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨» «mtr» «mtd» «msub» «mi»p«/mi» «mrow» «mi»s«/mi» «mi»h«/mi» «mi»i«/mi» «mi»p«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mi»x«/mi» «mo»§#160;«/mo» «/mrow» «/msub» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «msub» «mi»p«/mi» «mrow» «mi»s«/mi» «mi»h«/mi» «mi»i«/mi» «mi»p«/mi» «/mrow» «/msub» «mi»cos«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mi»§#952;«/mi» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd»«/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mrow» «mo»-«/mo» «mo»(«/mo» «mn»9«/mn» «mo».«/mo» «mn»70«/mn» «mo»§#215;«/mo» «msup» «mn»10«/mn» «mn»7«/mn» «/msup» «mo»§#160;«/mo» «mi»k«/mi» «mi»g«/mi» «mo»§#183;«/mo» «mfrac bevelled=¨true¨» «mi»m«/mi» «mi»s«/mi» «/mfrac» «mo»)«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mi»cos«/mi» «mo»(«/mo» «msup» «mn»41«/mn» «mo»§#8728;«/mo» «/msup» «mo»)«/mo» «/mrow» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd»«/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mo»-«/mo» «mn»7«/mn» «mo».«/mo» «mn»32«/mn» «mo»§#215;«/mo» «msup» «mn»10«/mn» «mn»7«/mn» «/msup» «mo»§#160;«/mo» «mi»k«/mi» «mi»g«/mi» «mo»§#183;«/mo» «mfrac bevelled=¨true¨» «mi»m«/mi» «mi»s«/mi» «/mfrac» «/mtd» «/mtr» «/mtable» «/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msub»«mi»p«/mi»«mrow»«mi»s«/mi»«mi»h«/mi»«mi»i«/mi»«mi»p«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#160;«/mo»«/mrow»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»p«/mi»«mrow»«mi»s«/mi»«mi»h«/mi»«mi»i«/mi»«mi»p«/mi»«/mrow»«/msub»«mi»sin«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»§#952;«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mrow»«mo»-«/mo»«mo»(«/mo»«mn»9«/mn»«mo».«/mo»«mn»70«/mn»«mo»§#215;«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mn»7«/mn»«/msup»«mo»§#160;«/mo»«mi»k«/mi»«mi»g«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mfrac bevelled=¨true¨»«mi»m«/mi»«mi»s«/mi»«/mfrac»«mo»)«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»(«/mo»«msup»«mn»41«/mn»«mo»§#8728;«/mo»«/msup»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«mo».«/mo»«mn»36«/mn»«mo»§#215;«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mn»7«/mn»«/msup»«mo»§#160;«/mo»«mi»k«/mi»«mi»g«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mfrac bevelled=¨true¨»«mi»m«/mi»«mi»s«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Paraphrase

The component of the momentum provided by tugboat A is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»7«/mn»«mo».«/mo»«mn»32«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#215;«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mn»7«/mn»«/msup»«mi»k«/mi»«mi»g«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mfrac bevelled=¨true¨»«mi»m«/mi»«mi»s«/mi»«/mfrac»«/math» in the negative x-direction.

The component of the momentum provided by tugboat B is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»6«/mn»«mo».«/mo»«mn»32«/mn»«mo»§#215;«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mn»7«/mn»«/msup»«mo»§#160;«/mo»«mi»k«/mi»«mi»g«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mfrac bevelled=¨true¨»«mi»m«/mi»«mi»s«/mi»«/mfrac»«/math»in the negative y-direction.