2.4 Impulse and F-t Graphs
If we were to apply a constant force, F, on an object over time, increment t, we would get the following graph.
Now notice what we get when we determine the area of the quadrilateral.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»o«/mi»«mi»f«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»t«/mi»«mi»h«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»q«/mi»«mi»u«/mi»«mi»a«/mi»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«mi»i«/mi»«mi»l«/mi»«mi»a«/mi»«mi»t«/mi»«mi»e«/mi»«mi»r«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«mo»§#160;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mi»B«/mi»«mi»a«/mi»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#215;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»H«/mi»«mi»e«/mi»«mi»i«/mi»«mi»g«/mi»«mi»h«/mi»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨italic¨»§#8710;«/mo»«mi»t«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»§#215;«/mo»«mi»F«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»§#160;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«/mtd»«mtd»«mi»o«/mi»«mi»r«/mi»«mo»§#160;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»F«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»§#215;«/mo»«mo mathvariant=¨italic¨»§#8710;«/mo»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
And we have already defined as a change in momentum, or in other words, the impulse is equal to the area on a force-time graph.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8710;«/mo»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»60«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»s«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«msub»«mi»F«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«mn»300«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»N«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«msub»«mi»F«/mi»«mi»f«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«mn»150«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»N«/mi»«/math»
Required: Magnitude of the impulse
Solution and Analysis:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»I«/mi»«mi»m«/mi»«mi»p«/mi»«mi»u«/mi»«mi»l«/mi»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§#160;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mi»T«/mi»«mi»o«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»a«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»o«/mi»«mi»f«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»t«/mi»«mi»h«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»s«/mi»«mi»h«/mi»«mi»a«/mi»«mi»d«/mi»«mi»e«/mi»«mi»d«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»g«/mi»«mi»i«/mi»«mi»o«/mi»«mi»n«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»o«/mi»«mi»f«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»t«/mi»«mi»r«/mi»«mi»i«/mi»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«mi»g«/mi»«mi»l«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»+«/mo»«mi»A«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»o«/mi»«mi»f«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»c«/mi»«mi»tan«/mi»«mi»g«/mi»«mi»l«/mi»«mi»e«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi»b«/mi»«msub»«mi»h«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«msub»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mn»6«/mn»«mo».«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#215;«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mi»s«/mi»«mo»)«/mo»«mo»(«/mo»«mn»300«/mn»«mi»N«/mi»«mo»-«/mo»«mn»150«/mn»«mi»N«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»(«/mo»«mn»6«/mn»«mo».«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#215;«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mi»s«/mi»«mo»)«/mo»«mo»(«/mo»«mn»150«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»N«/mi»«mo»-«/mo»«mn»0«/mn»«mi»N«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mo».«/mo»«mn»50«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»N«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mi»s«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»9«/mn»«mo».«/mo»«mn»00«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»N«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mi»s«/mi»«mo»§#160;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»14«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»N«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mi»s«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Paraphrase: The magnitude of the impulse of the arrow is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»14«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»N«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mi»s«/mi»«/math»
The follow graph shows a constant negative force being applied to an object over a given time. Calculate the impulse acting on the object.
Given: Force-Time Graph
Required: Magnitude of the impulse
Solution and Analysis: To calculate the impulse acting on the object over the time 0.01 seconds, we simply calculate the area of the blue rectangle, keeping
in mind that the force is negative.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»I«/mi»«mi»m«/mi»«mi»p«/mi»«mi»u«/mi»«mi»l«/mi»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§#160;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»T«/mi»«mi»o«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»a«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»o«/mi»«mi»f«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»t«/mi»«mi»h«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»s«/mi»«mi»h«/mi»«mi»a«/mi»«mi»d«/mi»«mi»e«/mi»«mi»d«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»g«/mi»«mi»i«/mi»«mi»o«/mi»«mi»n«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»o«/mi»«mi»f«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»b«/mi»«mi»l«/mi»«mi»u«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»c«/mi»«mi»tan«/mi»«mi»g«/mi»«mi»l«/mi»«mi»e«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»b«/mi»«mi»a«/mi»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§#215;«/mo»«mi»h«/mi»«mi»e«/mi»«mi»i«/mi»«mi»g«/mi»«mi»h«/mi»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»01«/mn»«mi»s«/mi»«mo»)«/mo»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»50«/mn»«mi»N«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»N«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mi»s«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Paraphrase:
The magnitude of the impulse on the object is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»N«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mi»s«/mi»«/math»
This example will show how to determine the impulse from a force-time graph when part of the graph is in the negative region and part of the graph is in the positive region.
Determine the impulse acting on the object over the entire time interval 10.0s from the following Force-Time Graph
Given: State important points from the graph
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8710;«/mo»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»10«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»s«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mi»F«/mi»«mo»=«/mo»«mn»50«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»N«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mi»F«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»40«/mn»«mi»N«/mi»«/math»
Required: Determine the impulse
Solution and Analysis:
Shade the areas that you require to calculate. Draw a line to separate the rectangle from the triangle on the larger shape. The shaded region should be touching the x-axis. Then label the regions.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»I«/mi»«mi»m«/mi»«mi»p«/mi»«mi»u«/mi»«mi»l«/mi»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§#160;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mi»T«/mi»«mi»o«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»a«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»o«/mi»«mi»f«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»t«/mi»«mi»h«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»s«/mi»«mi»h«/mi»«mi»a«/mi»«mi»d«/mi»«mi»e«/mi»«mi»d«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»g«/mi»«mi»i«/mi»«mi»o«/mi»«mi»n«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»A«/mi»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»A«/mi»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»b«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«msub»«mi»h«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»§#160;«/mo»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msub»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«msub»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msub»«mi»b«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«msub»«mi»h«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mrow»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo».«/mo»«mn»0«/mn»«mi»s«/mi»«mo»)«/mo»«mo»(«/mo»«mn»50«/mn»«mi»N«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mn»6«/mn»«mo».«/mo»«mn»02«/mn»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo».«/mo»«mn»0«/mn»«mi»s«/mi»«mo»)«/mo»«mo»(«/mo»«mn»50«/mn»«mi»N«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mn»10«/mn»«mo».«/mo»«mn»0«/mn»«mi»s«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«mo».«/mo»«mn»0«/mn»«mi»s«/mi»«mo»)«/mo»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»40«/mn»«mi»N«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»50«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»N«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mi»s«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»125«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»N«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mi»s«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»80«/mn»«mi»N«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»95«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»N«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mi»s«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Paraphrase:
The magnitude of the impulse of the arrow is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»95«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»N«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mi»s«/mi»«/math»
Read Effect of Non-Linear Net Force on MomentumLearn how to determine the magnitude of the impulse from a force-time graph by reading from the middle of page 459 to the bottom of page 460. |
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The area of a Force-Time graph is equal to the impulse of change in momentum «math style=¨font-family:`Times New Roman`¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨24px¨»«mi mathcolor=¨#FFFFFF¨»A«/mi»«mi mathcolor=¨#FFFFFF¨»r«/mi»«mi mathcolor=¨#FFFFFF¨»e«/mi»«mi mathcolor=¨#FFFFFF¨»a«/mi»«mo mathcolor=¨#FFFFFF¨»=«/mo»«mover mathcolor=¨#FFFFFF¨»«mi»F«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathcolor=¨#FFFFFF¨»§#8710;«/mo»«mi mathcolor=¨#FFFFFF¨»t«/mi»«/mstyle»«/math» |
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