L1.1 B3 Practice Solutions
Completion requirements
Unit 1
Functions
Practice Solutions
Practice 1.1B Solutions
Use these solutions to correct your work. When finished, give yourself a grade using the Practice Assessment rubric . Save your work and upload it with your Explore Your Understanding Assignment when you reach the end of the Lesson.Pages 86 to 89, questions 1, 2b, 2c, 2f, 3, 4a to 4c, 5a, 5c, 7a, 7c, 8a to 8c, 10a, 10b, 12a, 12b, 12d, 19a, and 19b.
If the solutions below do not display properly, try using Firefox as your internet browser. Contact your teacher if the problem persists.
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathcolor=¨#FFFFFF¨»f«/mi»«mfenced mathcolor=¨#FFFFFF¨»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msqrt mathcolor=¨#FFFFFF¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»36«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»000«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»03«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»9«/mn»«/mstyle»«/math» | non-real |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«mo».«/mo»«mn»56«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«mo».«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math» |
i)
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»36«/mn»«mo»§#8594;«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«mo»=«/mo»«msqrt»«mn»36«/mn»«/msqrt»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
ii)
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi mathvariant=¨normal¨»?«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»03«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»03«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»000«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»9«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
iii)
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8594;«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«mo»=«/mo»«msqrt»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
iv)
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«mo»§#8594;«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«mo»=«/mo»«msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math», which is non-real
v)
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»?«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo».«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mi»f«/mi»«/msqrt»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»56«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
vi)
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#8594;«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«mo»=«/mo»«msqrt»«mn»0«/mn»«/msqrt»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»63«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» is the point
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
c.
The point does not exist.
The square root of a negative number is non-real. There is no point at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» on the graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»10«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«mo»=«/mo»«msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math»
The square root of a negative number is non-real. There is no point at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» on the graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math».
f.
Yes, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mi»m«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«msqrt»«mi»n«/mi»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» is the point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math», where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Graph a) matches graph C.
Graph b) matches graph D.
Graph c) matches graph A.
Graph d) matches graph B.
Graph b) matches graph D.
Graph c) matches graph A.
Graph d) matches graph B.
Additional Notes:
In graph a), the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math» will be non-real when «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» is negative. In graph a), the values for which «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#60;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and graph C does not exist on that interval.
Graph a) matches graph C.
In graph b), compare «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Graph b) matches graph D.
In graph c), compare «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Graph c) matches graph A.
In graph d), compare «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Graph d) matches graph B.
In graph a), the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math» will be non-real when «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» is negative. In graph a), the values for which «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#60;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and graph C does not exist on that interval.
Graph a) matches graph C.
In graph b), compare «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
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mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace
width=¨0.33em¨/»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» will be
«math style=¨font-family:Verdana¨
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mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace
width=¨0.33em¨/»«msqrt»«mn»4«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
or
«math style=¨font-family:Verdana¨
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mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace
width=¨0.33em¨/»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨
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mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace
width=¨0.33em¨/»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» will be
«math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace
width=¨0.33em¨/»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
or
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mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»73«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨
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mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace
width=¨0.33em¨/»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» will be
«math style=¨font-family:Verdana¨
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or
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«math style=¨font-family:Verdana¨
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width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» will be
«math style=¨font-family:Verdana¨
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or
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«math style=¨font-family:Verdana¨
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width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» will be
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width=¨0.33em¨/»«msqrt»«mn»0«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
or
«math style=¨font-family:Verdana¨
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mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace
width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
Graph b) matches graph D.
In graph c), compare «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨
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width=¨0.33em¨/»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» will be
«math style=¨font-family:Verdana¨
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or «math style=¨font-family:Verdana¨
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width=¨0.33em¨/»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» will be
«math style=¨font-family:Verdana¨
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or
«math style=¨font-family:Verdana¨
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«math style=¨font-family:Verdana¨
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or
«math style=¨font-family:Verdana¨
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mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace
width=¨0.33em¨/»«mn»2«/mn»«mo».«/mo»«mn»83«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
Graph c) matches graph A.
In graph d), compare «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨
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mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi
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width=¨0.33em¨/»«mn»8«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» will be
«math style=¨font-family:Verdana¨
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width=¨0.33em¨/»«msqrt»«mn»8«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
or
«math style=¨font-family:Verdana¨
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mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»2«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»83«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace
width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» will be
«math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace
width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
Graph d) matches graph B.
a.
A table of values or technology may be used to sketch the graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Sketch the graphs of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Sketch the graphs of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math».
b.
The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» is where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» is the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
This «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept is the same for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» is at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercepts are the same because the square root of zero is zero.
There is an invariant point at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math», because the square root of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» is the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
This «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept is the same for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» is at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mo»-«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercepts are the same because the square root of zero is zero.
There is an invariant point at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math», because the square root of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».
c.
|
Domain of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
|
Range of
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
|
|
All real values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».
|
All real values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math».
|
|
Domain of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math»
|
Range of
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math»
|
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
There is a difference in the domains and ranges because of the square root sign in «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math». Restrictions are needed because it is not possible to take the square root of a negative value.
a.
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Domain: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8739;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» Range: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»§#8739;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Domain: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8739;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» Range: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»§#8739;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi mathvariant=¨normal¨»y«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» |
The domains are different because the value under the square root sign must be greater than or equal to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math».
If the domain is restricted, the function is undefined for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-values outside of the domain. The ranges are different because «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mstyle»«/math» will always be positive or zero.
c.
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Domain: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8739;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» Range: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»§#8739;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Domain: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8739;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mn»9«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math» Range: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»§#8739;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi mathvariant=¨normal¨»y«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» |
Same reasons as above.
a.
|
Domain |
Range |
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»25«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»25«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
|
The range will be determined by looking for the maximum or minimum «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-value. In the case of a quadratic function such as this, the maximum or minimum will occur at the vertex.
Consider the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept. When «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»25«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». On either side of the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept, the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-values increase. (Try «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».) The vertex is at the minimum. Range: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»§#8739;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»25«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»y«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» |
|
Domain |
Range |
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»25«/mn»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»25«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»25«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
or
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The domain is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8739;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»x«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» Note also that the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercepts of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math» for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» are the same as the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercepts for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mstyle»«/math». |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»§#8739;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»y«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
|
c.
|
Domain |
Range |
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»32«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»32«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8739;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
|
Look for the vertex of the function. In this case, it happens to be the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept, as was the case in part a., above.
At «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»32«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». On either side of the vertex, the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-values decrease in value. The vertex is at the maximum. «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»§#8739;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mn»32«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» |
|
Domain |
Range |
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mn»32«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Consider the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercepts of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math». The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercepts are the same for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mstyle»«/math». The graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» is positive for all values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» such that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#8804;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». The domain of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mn»32«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8739;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#8804;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math». |
For «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mstyle»«/math», the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept is
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mn»32«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mn»32«/mn»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math» The range of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math» is the set of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-values produced when «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»§#8739;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#8804;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«msqrt»«mn»32«/mn»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» |
The ranges are different because
- the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercepts are different, and/or
- «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mstyle»«/math» indicates that the range will be positive values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math» produced from permissible values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».
a.
The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept will be the same for both graphs. The point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» is the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept.
The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» is at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math». The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math» will be at the point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Therefore, the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math» is at the point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
The left end of the graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» extends upward into quadrant II. The left end of the graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math» does the same, though it follows a smooth curve that rises less steeply.
The invariant points are the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept and where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», which in this case is the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept.
The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» is at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math». The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math» will be at the point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Therefore, the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math» is at the point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
The left end of the graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» extends upward into quadrant II. The left end of the graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math» does the same, though it follows a smooth curve that rises less steeply.
The invariant points are the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept and where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», which in this case is the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept.
b.
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept |
Invariant Points |
|
For «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
|
For «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
|
The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
and
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
|
|
For «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
|
For «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»41«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» |
For both graphs, the right end will extend upwards into quadrant I.
c.
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept |
Invariant Points |
|
For «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»,
none
|
For «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»,
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
|
The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
|
|
For «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», none
|
For «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«msqrt»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» or
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
|
At «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», there is a point at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» on the graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Therefore, at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», there is a point at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» on the graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math». There is also a point at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» on the graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math» because of symmetry.
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math»
|
Domain |
Range |
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8739;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercepts at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#177;«/mo»«msqrt»«mn»4«/mn»«/msqrt»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math» |
Determine the vertex. In this case, it is the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math» The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept is at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math». Try «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math» There is also a point on the graph at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math». Because of symmetry, there is a point at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» as well. Range: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»§#8739;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»y«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math»
|
Domain |
Range |
|
Set of all real numbers such that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» is greater than or equal to zero.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msqrt»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mn»4«/mn»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math» or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msqrt»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mn»4«/mn»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math» Domain: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8739;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»x«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»§#8739;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»y«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
|
b.
The domain of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math» does not include the interval of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» where the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is negative (this is where the graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» lies below the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-axis).
a.
Solution: Extend the information in the diagram given in the question.
The radius of the earth is the distance from the centre of the earth to any point on its surface.
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»r«/mi»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is the distance from the centre of the earth to the object above the earth’s surface.
A right triangle is made and the Pythagorean theorem can be used to develop an equation.
The radius of the earth is the distance from the centre of the earth to any point on its surface.
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»r«/mi»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is the distance from the centre of the earth to the object above the earth’s surface.
A right triangle is made and the Pythagorean theorem can be used to develop an equation.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»r«/mi»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»r«/mi»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»r«/mi»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»r«/mi»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msqrt»«mn»2«/mn»«mi»r«/mi»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»d«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»378«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»km«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msqrt»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»6«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»378«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»d«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msqrt»«mn»12«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»756«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»d«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»756«/mn»«mi»h«/mi»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
b.
Domain:
Height is a measurement and must be positive; therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8739;«/mo»«mi»h«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»h«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Range:
Distance is also a measurement and must be positive; therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»d«/mi»«mo»§#8739;«/mo»«mi»d«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi mathvariant=¨normal¨»d«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Height is a measurement and must be positive; therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8739;«/mo»«mi»h«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»h«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Range:
Distance is also a measurement and must be positive; therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»d«/mi»«mo»§#8739;«/mo»«mi»d«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi mathvariant=¨normal¨»d«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
d.
If the equation were for an arbitrary situation and not specific to distances, the domain would be different. Negative values could be considered, which would open the domain to include «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12756«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The range would not change at all because the function is a radical function that will always be positive.
The range would not change at all because the function is a radical function that will always be positive.
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«msub»«mi»A«/mi»«mi»cyl«/mi»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mi»r«/mi»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»d«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»and«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»d«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»r«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»so«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»r«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«msub»«mi»A«/mi»«mi»cyl«/mi»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mi»r«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»S«/mi»«msub»«mi»A«/mi»«mi»cyl«/mi»«/msub»«/mrow»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mn»6«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/menclose»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mn»6«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/menclose»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»S«/mi»«msub»«mi»A«/mi»«mi»cyl«/mi»«/msub»«/mrow»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msqrt»«mfrac»«mrow»«mi»S«/mi»«msub»«mi»A«/mi»«mi»cyl«/mi»«/msub»«/mrow»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/msqrt»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»r«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mi»d«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mi»r«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mi»s«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mfenced»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»6«/mn»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mfenced»«mrow»«mn»36«/mn»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mfenced»«mrow»«mn»37«/mn»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mi»s«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mfenced»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»6«/mn»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mfenced»«mrow»«mn»36«/mn»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mfenced»«mrow»«mn»37«/mn»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»S«/mi»«msub»«mi»A«/mi»«mi»cone«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«mo»§#960;«/mo»«mi»r«/mi»«mi»s«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«msub»«mi»A«/mi»«mi»cone«/mi»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#960;«/mo»«mi»r«/mi»«mfenced»«msqrt»«mn»37«/mn»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#960;«/mo»«mi»r«/mi»«mfenced»«msqrt»«mn»37«/mn»«/msqrt»«/mfenced»«mfenced»«msqrt»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#960;«/mo»«mi»r«/mi»«mfenced»«msqrt»«mn»37«/mn»«/msqrt»«/mfenced»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«msqrt»«mn»37«/mn»«/msqrt»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Factor out the common factor of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»S«/mi»«msub»«mi»A«/mi»«mi»cone«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mn»37«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Divide both sides by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#960;«/mo»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mn»37«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»S«/mi»«msub»«mi»A«/mi»«mi»cone«/mi»«/msub»«/mrow»«mrow»«mo»§#960;«/mo»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mn»37«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Take the square root of both sides.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msqrt»«mfrac»«mrow»«mi»S«/mi»«msub»«mi»A«/mi»«mi»cone«/mi»«/msub»«/mrow»«mrow»«mo»§#960;«/mo»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mn»37«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/msqrt»«mo»=«/mo»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»