L1.2 B1 The Remainder Theorem - Part 1
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Part 1.2B corresponds to section 3.2, The Remainder Theorem, starting on page 118 of your Pre-Calculus 12 textbook.
In previous math classes, you may have used long division.
Consider «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»035«/mn»«mo»§#247;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». The first step is to check if «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math» can go into the first digit – the number, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math». The number «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math» cannot go into «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» evenly, so consider the first two digits – «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math» can go into «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math» evenly. So, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» is written above the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math». Since «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»5«/mn»«mo»=«/mo»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math», write the answer «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math» below the first two digits in the number «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»035«/mn»«/mstyle»«/math». Then, subtract, and write the difference below the line.
Then, bring down the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math». Since «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math» goes into «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» zero times, write a zero beside the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math». Since «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»5«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math», write the answer «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math» below the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math», subtract the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math» from the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math», and write the difference below the line.
Now, bring down the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math». Note that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math» goes into «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»35«/mn»«/mstyle»«/math» seven times.
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»035«/mn»«mo»§#247;«/mo»«mn»5«/mn»«mo»=«/mo»«mn»207«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» with a remainder of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math». The result of this division can also be written as a product of factors: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»035«/mn»«mo»=«/mo»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«mfenced»«mn»207«/mn»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
The same process can be applied when dividing polynomials. Any polynomial can be divided by another. Sometimes, there will be no remainder just as in the above example «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»035«/mn»«mo»§#247;«/mo»«mn»5«/mn»«mo»=«/mo»«mn»207«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». Other times, there will be a remainder. Remainders occur when the divisor is not a factor of the dividend. If we had divided «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»035«/mn»«/mstyle»«/math» by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math», the result would have been «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»035«/mn»«mo»§#247;«/mo»«mn»10«/mn»«mo»=«/mo»«mn»103«/mn»«/mstyle»«/math» with a remainder of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math».
In this course, you will divide polynomials by binomials. Recall that a binomial has two terms.
If a polynomial can be divided by a certain binomial, then the binomial is a factor of that polynomial. Compare this to If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn mathvariant=¨italic¨»20«/mn»«/mstyle»«/math»can be divided by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn mathvariant=¨italic¨»4«/mn»«/mstyle»«/math», then «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn mathvariant=¨italic¨»4«/mn»«/mstyle»«/math» is a factor of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn mathvariant=¨italic¨»20«/mn»«/mstyle»«/math».
Consider «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»035«/mn»«mo»§#247;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». The first step is to check if «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math» can go into the first digit – the number, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math». The number «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math» cannot go into «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» evenly, so consider the first two digits – «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math» can go into «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math» evenly. So, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» is written above the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math». Since «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»5«/mn»«mo»=«/mo»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math», write the answer «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math» below the first two digits in the number «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»035«/mn»«/mstyle»«/math». Then, subtract, and write the difference below the line.
The same process can be applied when dividing polynomials. Any polynomial can be divided by another. Sometimes, there will be no remainder just as in the above example «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»035«/mn»«mo»§#247;«/mo»«mn»5«/mn»«mo»=«/mo»«mn»207«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». Other times, there will be a remainder. Remainders occur when the divisor is not a factor of the dividend. If we had divided «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»035«/mn»«/mstyle»«/math» by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math», the result would have been «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»035«/mn»«mo»§#247;«/mo»«mn»10«/mn»«mo»=«/mo»«mn»103«/mn»«/mstyle»«/math» with a remainder of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math».
In this course, you will divide polynomials by binomials. Recall that a binomial has two terms.
If a polynomial can be divided by a certain binomial, then the binomial is a factor of that polynomial. Compare this to If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn mathvariant=¨italic¨»20«/mn»«/mstyle»«/math»can be divided by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn mathvariant=¨italic¨»4«/mn»«/mstyle»«/math», then «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn mathvariant=¨italic¨»4«/mn»«/mstyle»«/math» is a factor of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn mathvariant=¨italic¨»20«/mn»«/mstyle»«/math».
Is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» a factor of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math»?
Divide «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math» by the binomial «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
If there is a remainder of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is a factor of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math».
Set the division up as long division.
Now, identify a term that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» can be multiplied by to get «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» as the first term in the product.
The term «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» is used because «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» will give «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» in the first term of the product. Multiply «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math», and write the product below the dividend.
Now, subtract «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» from «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math». The result is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math».
Next, bring down the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».
Now, identify a term that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» can be multiplied by to get «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» as the first term in the product, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» in this case. Place «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» on top, beside «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math». Multiply «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math», and write the product below «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».
Now, subtract «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» from «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».
Next, bring down the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math».
Repeat the process outlined in the steps above.
Subtract «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math» from «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math», and the result is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math».
Because «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#247;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math», with a remainder of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» is a factor of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Note that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» is also a factor of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math». In fact, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
If there is a remainder of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is a factor of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math».
Set the division up as long division.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«menclose notation=¨longdiv¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/menclose»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Now, identify a term that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» can be multiplied by to get «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» as the first term in the product.
The term «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» is used because «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» will give «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» in the first term of the product. Multiply «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math», and write the product below the dividend.
Now, subtract «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» from «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».
Next, bring down the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math»
Note that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» is also a factor of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math». In fact, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».