L1.2 B1 The Remainder Theorem - Part 2
Completion requirements
Unit 1
Functions
Restrictions on the Variable
When dividing a polynomial by a binomial, we are dividing by an expression that contains a variable. Values of the variable that make the divisor equal to zero are non-permissible. Therefore, the binomial cannot be equal to zero. Any value of the variable that causes the binomial to be equal to zero is not permitted.Therefore, for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«/mstyle»«/math», the restriction on the variable, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math», would be determined by stating that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8800;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8800;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Read
Refer to pages 120 and 121 of your Pre-Calculus 12 textbook to review more examples using long division and dealing with restrictions on the variable.
On page 120 you will see the statement:
The statement means that, if a polynomial is divided by a binomial, the quotient, or the answer, will be another polynomial, called «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math», and a remainder.
The statement can be applied to the whole number examples discussed at the beginning of this section.
For «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»035«/mn»«mo»§#247;«/mo»«mn»5«/mn»«mo»=«/mo»«mn»207«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»,
For «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»035«/mn»«mo»§#247;«/mo»«mn»10«/mn»«mo»=«/mo»«mn»103«/mn»«/mstyle»«/math» Remainder «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math»,
Consider the following example of a polynomial divided by a binomial from which a remainder results.
| The result of the division of a polynomial in «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math», by a binomial of the form «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»a«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»I«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»is«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»R«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math», where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» is the quotient and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»R«/mi»«/mstyle»«/math» is the remainder. |
The statement means that, if a polynomial is divided by a binomial, the quotient, or the answer, will be another polynomial, called «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math», and a remainder.
The statement can be applied to the whole number examples discussed at the beginning of this section.
For «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»035«/mn»«mo»§#247;«/mo»«mn»5«/mn»«mo»=«/mo»«mn»207«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»,
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»035«/mn»«/mrow»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»207«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»0«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
For «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»035«/mn»«mo»§#247;«/mo»«mn»10«/mn»«mo»=«/mo»«mn»103«/mn»«/mstyle»«/math» Remainder «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math»,
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»035«/mn»«/mrow»«mn»10«/mn»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»103«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»10«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
Consider the following example of a polynomial divided by a binomial from which a remainder results.
Determine the result of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»11«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» divided by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8800;«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math».
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»11«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Now, put «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» in descending order by degree, and insert missing terms with zeros as placeholders.
Follow the steps of long division to get the quotient, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math», and the remainder.
Consider the division statement «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»R«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The division statement now reads as follows.
Now, put «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» in descending order by degree, and insert missing terms with zeros as placeholders.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»11«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Written in long division form, it looks like this:
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mlongdiv charalign=¨center¨ charspacing=¨0px¨ stackalign=¨left¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow/»«msgroup»«msrow»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»11«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«/msrow»«msrow/»«/msgroup»«/mlongdiv»«/mstyle»«/math»
Follow the steps of long division to get the quotient, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math», and the remainder.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»11«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»12«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»36«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»97«/mn»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»298«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
The division statement now reads as follows.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»11«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»12«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»36«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»97«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»298«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mstyle»«/math»