L1.2 C1 The Factor Theorem - Part 1
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Part 1.2C corresponds to section 3.3, The Factor Theorem, starting on page 126 of your Pre-Calculus 12 textbook.
The factor theorem is useful for determining whether a binomial is a factor of a polynomial.
The factor theorem states that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» is a factor of a polynomial, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math», if and only if «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»a«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math».
In other words, if «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»a«/mi»«/mstyle»«/math» is substituted for the variable in a polynomial function, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math», and the result is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math», then «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a«/mi»«/mstyle»«/math» is a factor of the polynomial «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Simply put, the factor theorem is a special case of the remainder theorem, for which the remainder is always «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math».
The factor theorem states that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» is a factor of a polynomial, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math», if and only if «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»a«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math».
In other words, if «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»a«/mi»«/mstyle»«/math» is substituted for the variable in a polynomial function, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math», and the result is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math», then «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a«/mi»«/mstyle»«/math» is a factor of the polynomial «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Simply put, the factor theorem is a special case of the remainder theorem, for which the remainder is always «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math».
Possible Integral Zeros
When factoring a polynomial, instead of randomly choosing a value for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»a«/mi»«/mstyle»«/math» that might work, narrow the selection process by considering only a specific list of possible integers that, when substituted into the polynomial function, could result in a function value of zero. To do this, use the integral zero theorem, which states that if «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a«/mi»«/mstyle»«/math» is a factor of a polynomial function with integral coefficients, then «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»a«/mi»«/mstyle»«/math» is a factor of the constant term.
Consider the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math».
Determine all binomial factors of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Determine all binomial factors of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Select a possible value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»a«/mi»«/mstyle»«/math» for which «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»a«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math».
Focus on the constant term of the polynomial. In this case, the constant term is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math».
List all the integers that are factors of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math».
The possible integral zeros of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math» are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#177;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», which are far less daunting than ALL integers.
Try «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».
Because «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», the binomial «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» is a factor of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Now, use long division or synthetic division to determine the other factor, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
We were asked to factor «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math» to binomials. «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math» is a trinomial, so try to factor it further.
Focus on the constant term of the polynomial. In this case, the constant term is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math».
List all the integers that are factors of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#177;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
The possible integral zeros of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math» are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#177;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», which are far less daunting than ALL integers.
Try «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»P«/mi»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Because «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», the binomial «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» is a factor of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Now, use long division or synthetic division to determine the other factor, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» are factors of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
We were asked to factor «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math» to binomials. «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math» is a trinomial, so try to factor it further.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»which«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»we«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»know«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»from«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»synthetic«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»division«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»which«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»we«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»know«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»from«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»factoring«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»the«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»trinomial«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»