L1.2 C3 Practice Solutions
Completion requirements
Unit 1
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Practice Solutions
Practice 1.2C Solutions
Use these solutions to correct your work. When finished, give yourself a grade using the Practice Assessment rubric.Pages 133 to 135, questions 2a to 2f, 4a, 4c, 5a, 5d, 5e, 11, and 14.
If the solutions below do not display properly, try using Firefox as your internet browser. Contact your teacher if the problem persists.
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»P«/mi»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Yes, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is a factor.
Yes, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is a factor.
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»P«/mi»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
No, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is not a factor.
No, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is not a factor.
c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»P«/mi»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
No, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is not a factor.
No, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is not a factor.
d.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»P«/mi»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Yes, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is a factor.
Yes, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is a factor.
e.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»P«/mi»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Yes, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is a factor.
Yes, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is a factor.
f.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»P«/mi»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
No, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is not a factor.
No, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is not a factor.
According to the factor theorem, «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
is a factor of «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
if and only if «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»a«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math».
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» is a factor of a polynomial if «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» is substituted into the polynomial and the result is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math».
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» is a factor of a polynomial if «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» is substituted into the polynomial and the result is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math».
a.
Determine the integral factors of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»8«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#177;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
c.
Determine the integral factors of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»24«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#177;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»6«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»8«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»12«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»24«/mn»«/mstyle»«/math»
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»11«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Possible integral zeros will be integral factors of the constant term, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math». These are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#177;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math».
Try «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» in the polynomial to see if the remainder is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»P«/mi»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»11«/mn»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«mn»11«/mn»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» is a factor of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Now, use «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» in either long division or synthetic division, and determine another factor.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Now, factor the trinomial.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
d.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»34«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»24«/mn»«/mstyle»«/math»
Possible integral zeros will be integral factors of the constant term, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»24«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». These are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#177;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»6«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»8«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»12«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»24«/mn»«/mstyle»«/math».
Try «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»P«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»34«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mn»24«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»16«/mn»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»68«/mn»«mo»-«/mo»«mn»24«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is a factor.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Now, use «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» in either long division or synthetic division, and determine «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»11«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»12«/mn»«/mstyle»«/math»
Possible integral zeros of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math» are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#177;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»6«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»12«/mn»«/mstyle»«/math».
Try «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»11«/mn»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mn»12«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»27«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»9«/mn»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mn»33«/mn»«mo»-«/mo»«mn»12«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» is a factor.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»M«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
Divide «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math» by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» to determine «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»M«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»M«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math»
Now, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Factor the trinomial «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
e.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»k«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»k«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»k«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»k«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»15«/mn»«msup»«mi»k«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«/mstyle»«/math»
Possible integral zeros will be integral factors of the constant term, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»12«/mn»«/mstyle»«/math». These are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#177;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»6«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»12«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Try «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»P«/mi»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»15«/mn»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mo»-«/mo»«mn»15«/mn»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»20«/mn»«mo»-«/mo»«mn»20«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»k«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»k«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»k«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»k«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»k«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»k«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»k«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»k«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»16«/mn»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»12«/mn»«/mstyle»«/math»
The possible integral zeros of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»k«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#177;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»6«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»12«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Try «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»16«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mn»12«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»k«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»M«/mi»«mfenced»«mi»k«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»k«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»M«/mi»«mfenced»«mi»k«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Use synthetic division or long division to determine «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»M«/mi»«mfenced»«mi»k«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»M«/mi»«mfenced»«mi»k«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»k«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»k«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»12«/mn»«/mstyle»«/math»
Possible integral zeros of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»M«/mi»«mfenced»«mi»k«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#177;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»6«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»12«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Try «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»M«/mi»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mn»12«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»8«/mn»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«mo»-«/mo»«mn»8«/mn»«mo»-«/mo»«mn»12«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
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«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»N«/mi»«mfenced»«mi»k«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math»
Factor «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»N«/mi»«mfenced»«mi»k«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»k«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»(«/mo»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»)«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msub»«mi»V«/mi»«mi»recprism«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»L«/mi»«mo»§#215;«/mo»«mi»W«/mi»«mo»§#215;«/mo»«mi»D«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi»V«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»Area«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»of«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»the«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»base«/mi»«mo»§#215;«/mo»«mi»depth«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi»Let«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»area«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»of«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»the«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»base«/mi»«mo»=«/mo»«mi»A«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi»Depth«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
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«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»V«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»A«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»14«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»63«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»90«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»A«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»V«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»A«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»V«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»A«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»14«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»63«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»90«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»A«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Use synthetic division or long division to determine «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»A«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»A«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»15«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Factor «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»A«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» to determine the dimensions of length and width.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»L«/mi»«mo»§#215;«/mo»«mi»W«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The length is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» and the width is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math», or vice versa.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»e«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi»f«/mi»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»d«/mi»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»e«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi»f«/mi»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»+«/mo»«mi»d«/mi»«mo»+«/mo»«mi»e«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
But, since «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»a«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»+«/mo»«mi»d«/mi»«mo»+«/mo»«mi»e«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», by the factor theorem, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is a factor of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math».