Unit 1

Functions

Practice Solutions

Practice 1.3A Solutions

Use these solutions to correct your work. When finished, give yourself a grade using the Practice Assessment rubric.

Pages 451 to 456, questions 1a, 1b, 2a, 2c, 4a, 4d, 6, 9a, 9b, 12a to 12c, 14a to 14c, 20, and 22.

If the solutions below do not display properly, try using Firefox as your internet browser.  Contact your teacher if the problem persists.
a.
Characteristic «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Non-permissible value(s) «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8800;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8800;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Feature exhibited at each non-permissible value
At «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math», there is a vertical asymptote.

At «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math», there is a point of discontinuity.
Behaviour near each non-permissible value As «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» from the right, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mstyle»«/math»
As «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» from the left, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mstyle»«/math»
As «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» from the right, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
As «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» from the left, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
Domain
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»x«/mi»«menclose notation=¨left¨»«mi»x«/mi»«/menclose»«mo»§#8800;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
Range
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»y«/mi»«menclose notation=¨left¨»«mi»y«/mi»«/menclose»«mo»§#8800;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»

Factor the trinomial by determining the two values that add to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and multiply to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»8«/mn»«/mstyle»«/math».
   
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»

Now, the non-permissible values can be determined.

The denominator cannot equal zero; therefore, neither of the factors in the denominator can equal zero.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8800;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8800;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

and

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8800;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8800;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

The domain includes all real values except for the values that will cause the denominator to be equal to zero.

The range includes all real values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math» except for the value that corresponds to the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-value of the point of discontinuity, and zero. As «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» approaches the value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» from the left and the right, the value of the function approaches «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math».

The function cannot equal zero. To equal zero, the numerator must equal zero, but when the numerator is zero, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math».
b.
The factor «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» is only in the denominator, so a vertical asymptote occurs at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math».

The factor «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» is in both the numerator and denominator, so a point of discontinuity occurs at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math». Substituting «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» into the simplified function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math» gives «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math», so there is a point of discontinuity at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».

As «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» approaches «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» from the left, the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-values change drastically. Small interval changes in the value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» from the left of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» result in large changes in the function. The function approaches negative infinity.

As «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» approaches «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» from the right, the function approaches positive infinity.

Extreme changes in the value of the function as the value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» approaches «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» from either the left or the right indicates «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» is a vertical asymptote.

As «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» approaches «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» from the left, the function approaches the value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math».

As «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» approaches «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» from the right, the function approaches the value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math».

Small changes leading to a common value of the function as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» approaches «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» from both the left and the right indicate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» is a point of discontinuity.
a.
A table of values can be used to show that at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math» there will be a point of discontinuity.

Choose values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» that lie to the left and right of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo».«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math»
Undefined
  «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math»   «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo».«/mo»«mn»9«/mn»«/mstyle»«/math»
  «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math»   «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math»

Note: No drastic changes occur in the function near the non-permissible value. A point of discontinuity occurs at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math» (and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math»).

The point of discontinuity can also be predicted by factoring.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

The denominator cannot equal zero.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8800;«/mo»«mn»0«/mn»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»x«/mi»«/menclose»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»x«/mi»«/menclose»«/mfrac»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8800;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»

Because the factor of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» was eliminated from both the numerator and denominator, the non-permissible value related to that factor is the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinate of a point of discontinuity.
c.
Construct a table of values with small increments of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math», approaching «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» from the left and the right to determine if drastic changes occur in the value of the function.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»51«/mn»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»77«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo».«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»300«/mn»«mo».«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math»
Undefined
  «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo».«/mo»«mn»9«/mn»«/mstyle»«/math»   «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»260«/mn»«mo».«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math»
  «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math»   «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»37«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»11«/mn»«/mstyle»«/math»

The table shows drastic changes in the function as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» approaches «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math». Therefore, a vertical asymptote occurs at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math».

The asymptote can also be predicted algebraically.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mfrac»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»

The factor remains in the denominator. As such, there will be a vertical asymptote at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math».
a.
At «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», there is a point of discontinuity.

At «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math», there is a vertical asymptote.

The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math». The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».


Factor fully.

Numerator:

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»

Denominator:

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»20«/mn»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»

The equation of the function in factored form is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».

Now, determine the non-permissible values.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8800;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8800;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

and

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8800;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8800;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

Simplify.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/menclose»«/mrow»«mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/menclose»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»x«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

The factor «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is eliminated; therefore, the non-permissible value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» represents a point of discontinuity.

The factor «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math» remains, so the non-permissible value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math» represents a vertical asymptote.

Now, calculate the intercepts. The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept occurs at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

or

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

However, the value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is a non-permissible value, so the only «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».

The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept occurs at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»0«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mn»0«/mn»«mn»20«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».

The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-value of the point of discontinuity can be determined by evaluating the simplified function at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
d.
At «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math», there is a point of discontinuity.

At «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math», there is a vertical asymptote.

The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept is at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».

The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept is at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».


Factor fully.

Numerator:

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»15«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»15«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

Denominator:

The expression «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»9«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» is a difference of squares.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»9«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»

So, the equation of the function in factored form is

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math»

Notice «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»3«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» are related (one is the negative of the other). Remove a factor of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» from one factor so the two factors are equal.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math»

Now, determine the non-permissible values.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8800;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8800;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8800;«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

and

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8800;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8800;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8800;«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

Simplify.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»

At «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math», there is a point of discontinuity because the factor related to that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-value was in both the numerator and denominator of the equation of the function.

At «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math», there is a vertical asymptote because the factor related to that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-value only occurs in the denominator.

Intercepts:

The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept occurs at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

or

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

There is an «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept at point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math». Recall «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» is a non-permissible value.

The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept occurs at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»15«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»9«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»15«/mn»«/mrow»«mn»9«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

A «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept occurs at the point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».

The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-value of the point of discontinuity can be determined by evaluating the simplified function at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»13«/mn»«mn»12«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
a.
Asymptotes occur at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» matches the denominator of C.
b.
Asymptotes occur at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» matches the denominator of B.
c.
Asymptotes occur at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» matches the denominator of D.
d.
Asymptotes occur at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»20«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» matches the denominator of A.
a.
Factoring the functions will help determine more details about their respective graphs.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»

Asymptotes are at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».

Intercepts of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math»:

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept at point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept at point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»

An asymptote occurs at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math». The factor «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» can be eliminated from the numerator and denominator.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/menclose»«mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/menclose»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8800;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

Therefore, a point of discontinuity occurs at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math».

Intercepts of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math»:

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept at point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»

There is no «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

We have already established that at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» there is no «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-value. It is a point of discontinuity.

There are different numbers of asymptotes and points of discontinuity in the graphs of the two functions, so her prediction is not correct.

b.
The two graphs are shown.



a.
The velocity of any object is determined by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»v«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».

Wind speed, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»w«/mi»«/mstyle»«/math», is positive if the wind is going the same direction as the plane. It is negative if the wind is blowing in the opposite direction of the plane.

The speed of the plane relative to the ground is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mn»250«/mn»«mo»+«/mo»«mi»w«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».

Distance «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»=«/mo»«mn»500«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»

Using «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»v«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»250«/mn»«mo»+«/mo»«mi»w«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»500«/mn»«mi»t«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»t«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»500«/mn»«mrow»«mn»250«/mn»«mo»+«/mo»«mi»w«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»250«/mn»«mo»+«/mo»«mi»w«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8800;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»§#8800;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»250«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

Keep in mind this is a real-life situation. If the wind speed is greater than the speed of the plane, and in the opposite direction, the plane will go backwards and never reach the destination.

Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»w«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»250«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is the domain of the function.

b.
The graph of the function:


There is a non-permissible value at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»w«/mi»«mo»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»250«/mn»«/mstyle»«/math», and this is indicated by the vertical asymptote.

c.
If the wind is going exactly the same speed as the plane, but in the opposite direction, the plane’s speed relative to the ground is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»km«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»h«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math». The plane will never reach its destination, hence the vertical asymptote on the graph at this non-permissible value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»w«/mi»«mo»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»250«/mn»«/mstyle»«/math».

Also, as the wind speed approaches the non-permissible value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»w«/mi»«mo»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»250«/mn»«/mstyle»«/math» from the right, the wind is slowing the plane. It takes more time to reach the destination, so the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»t«/mi»«/mstyle»«/math»-value increases.

If the wind speed goes ‘with’ the plane, the plane speeds up.

For «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»w«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» hours.

For «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»w«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mn»250«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» hour.

For «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»w«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mn»500«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/math» hour, and so on.

As the tailwind speed increases, the time needed to travel «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»500«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»km«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» decreases.
a.
The non-permissible value occurs when

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»100«/mn»«mo»-«/mo»«mi»p«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»100«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»p«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

The function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»C«/mi»«mfenced»«mi»p«/mi»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»500«/mn»«mi»p«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»100«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»p«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math» cannot be factored and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»100«/mn»«mo»-«/mo»«mi»p«/mi»«/mstyle»«/math» is not a factor of the numerator, so there will be an asymptote at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»p«/mi»«mo»=«/mo»«mn»100«/mn»«/mstyle»«/math».

Using test values just less than «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»100«/mn»«/mstyle»«/math» shows the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»C«/mi»«mfenced»«mi»p«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» value increases rapidly as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»p«/mi»«/mstyle»«/math» approaches «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»100«/mn»«/mstyle»«/math». This makes sense because it is likely to get more expensive as more of the population gets vaccinated. Values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»p«/mi»«/mstyle»«/math» over «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»100«/mn»«/mstyle»«/math» have no meaning because it is not possible to vaccinate more than «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»100«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»%«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» of the population.

b.
Graph of the function.


Domain: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»§#8804;«/mo»«mi»p«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»100«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»

It is not possible to vaccinate less than «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»%«/mi»«/mstyle»«/math» of the population. Therefore, the realistic graph of the situation will not show any «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»p«/mi»«/mstyle»«/math»-values below «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math».

Cost will increase as the number of people vaccinated approaches the total population («math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»100«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»%«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»).

On the graph of the given function, there is a part of the curve to the right of the vertical asymptote. However, it is not possible to vaccinate more than «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»100«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»%«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» of the population. Therefore, the graph of the situation does not include any part of the curve to the right of the asymptote.

c.
Yes, if «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8804;«/mo»«mi»p«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#60;«/mo»«mn»100«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», the model seems reasonable. The aid workers would likely target “easy” populations first (large centres, people eager for a vaccine, etc.). As “easy” parts of the population become vaccinated, it will become more expensive to vaccinate other groups. It would be extremely expensive to try to vaccinate the entire population, particularly those in remote regions who are difficult to locate.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»

We are given «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»28«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math», and the equation for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math» will be «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mi»f«/mi»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».

It means replace the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» in the function with «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math», and multiply the whole function by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math».

Step 1:

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»

Use «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» in the original function in place of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»28«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»9«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»9«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»28«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»18«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mspace linebreak=¨newline¨/»«/mrow»«/mstyle»«/math»

Now, multiply the entire function by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercepts of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» are the vertical asymptotes of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math», which is true for reciprocal functions.

As «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» approaches zero, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math» approaches positive or negative infinity.

As one function increases, the other decreases, and vice versa.

There is an invariant point where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».