L1.3 B1 Solving Rational Equations - Part 3
Completion requirements
Unit 1
Functions
The Non-Permissible Values as Solutions
In the previous examples, the solutions were permissible values and they were verified as solutions.What happens if a solution is a non-permissible value?
Determine the solution(s) to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
First, determine the non-permissible values.
Note the denominators have a common factor.
Now, multiply each term in the equation by an expression that includes all factors in the denominators.
The quadratic formula can be used to determine the solutions of the equation.
We have already determined «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is a non-permissible value. Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is an extraneous root. It is not a solution value.
Verify «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The left side of the equation equals the right side when «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» is used in the equation. Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» is a solution.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8800;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8800;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8800;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8800;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8800;«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Note the denominators have a common factor.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Now, multiply each term in the equation by an expression that includes all factors in the denominators.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/menclose»«/mfrac»«mfenced»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/menclose»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/menclose»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/menclose»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»11«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»11«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The quadratic formula can be used to determine the solutions of the equation.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»11«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»b«/mi»«mo»§#177;«/mo»«msqrt»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»a«/mi»«mi»c«/mi»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»11«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#177;«/mo»«msqrt»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»11«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»11«/mn»«mo»§#177;«/mo»«msqrt»«mn»121«/mn»«mo»+«/mo»«mn»48«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn»8«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»11«/mn»«mo»§#177;«/mo»«msqrt»«mn»169«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn»8«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»11«/mn»«mo»+«/mo»«mn»13«/mn»«/mrow»«mn»8«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd/»«mtd»«mi»or«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»11«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»13«/mn»«/mrow»«mn»8«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»24«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»11«/mn»«mo»+«/mo»«mn»13«/mn»«/mrow»«mn»8«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd/»«mtd»«mi»or«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»11«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»13«/mn»«/mrow»«mn»8«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»24«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
We have already determined «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is a non-permissible value. Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is an extraneous root. It is not a solution value.
Verify «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
| Left Side | Right Side |
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»11«/mn»«mn»26«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»13«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»11«/mn»«mn»26«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
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The left side of the equation equals the right side when «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» is used in the equation. Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» is a solution.