L1.4 B1 Solving Exponential Equations - Part 2
Completion requirements
Unit 1
Functions
Changing the base of a power is an incredibly useful strategy for solving exponential equations algebraically.
Solve the equation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mn»9«/mn»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
You can interpret this equation as “What exponent on «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» would give the same value as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mn»9«/mn»«mn»4«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math»?”.
We could determine that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mn»9«/mn»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»561«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», and then try to find the exponent on «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» that would also result in «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»6«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»561«/mn»«/mstyle»«/math».
Or, we could write both powers with like bases, and then compare the exponents.
Recall «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»9«/mn»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math». The equation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mn»9«/mn»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» can be written as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«msup»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Because the bases are now equal, the exponents must also be equal.
Test it.
Does «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mn»3«/mn»«mn»8«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»561«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»? Yes.
We could determine that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mn»9«/mn»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»561«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», and then try to find the exponent on «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» that would also result in «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»6«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»561«/mn»«/mstyle»«/math».
Or, we could write both powers with like bases, and then compare the exponents.
Recall «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»9«/mn»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math». The equation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mn»9«/mn»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» can be written as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«msup»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mn»8«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Because the bases are now equal, the exponents must also be equal.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»8«/mn»«/mstyle»«/math»
Test it.
Does «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mn»3«/mn»«mn»8«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»561«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»? Yes.
Let's try a more complicated example.
Write the expression «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mn»8«/mn»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/msup»«msup»«mfenced»«msqrt»«mn»16«/mn»«/msqrt»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» as a power with base «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math».
First, recall «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msqrt»«mn»16«/mn»«/msqrt»«/mstyle»«/math» can be written as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«msup»«mn»16«/mn»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Now, use exponent laws to simplify. Multiply exponents when a power is raised to a power.
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mn»8«/mn»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/msup»«msup»«mfenced»«msqrt»«mn»16«/mn»«/msqrt»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mn»2«/mn»«mn»8«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mn»8«/mn»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/msup»«msup»«mfenced»«msqrt»«mn»16«/mn»«/msqrt»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mfenced»«msup»«mn»8«/mn»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfenced»«msup»«mfenced»«msup»«mn»16«/mn»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Now, use exponent laws to simplify. Multiply exponents when a power is raised to a power.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«mfenced»«msup»«mn»8«/mn»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfenced»«msup»«mfenced»«msup»«mn»16«/mn»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mspace/»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«mfenced»«msup»«mn»8«/mn»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfenced»«mfenced»«msup»«mn»16«/mn»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mspace/»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi»Next«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»write«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»each«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»power«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»with«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»base«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mo».«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«mfenced»«msup»«mfenced»«msup»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfenced»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfenced»«mfenced»«msup»«mfenced»«msup»«mn»2«/mn»«mn»4«/mn»«/msup»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfenced»«mo»§#160;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mspace/»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi»And«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»again«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»multiply«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»the«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»exponents«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»for«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»each«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»power«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»raised«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»to«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»a«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»power«/mi»«mo».«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«mfenced»«msup»«mn»2«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mfenced»«mfenced»«msup»«mn»2«/mn»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mfenced»«mo»§#160;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mspace/»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«mfenced»«msup»«mn»2«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«mfenced»«msup»«mn»2«/mn»«mn»6«/mn»«/msup»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mspace/»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«msup»«mn»2«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mo»=«/mo»«msup»«mn»2«/mn»«mn»8«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math»
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mn»8«/mn»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/msup»«msup»«mfenced»«msqrt»«mn»16«/mn»«/msqrt»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mn»2«/mn»«mn»8«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
When solving exponential equations, check to see if like bases can be used.