Unit 1

Functions


Algebraically solve the equation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mn»9«/mn»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mn»27«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math». Verify the solution graphically and algebraically.

Decide if the powers can be written with like bases.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»9«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»is«/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»27«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»is«/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mn»3«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math»

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mfenced»«msup»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«msup»«mn»3«/mn»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»

Now, equate the exponents to solve for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

Verify.

Graph «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mn»9«/mn»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mn»27«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math», and determine the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-value of the point where the two graphs intersect.


The two graphs intersect when «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».

The solution can also be verified by comparing the left side of the equation to the right side when «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».

Verify «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».

Left Side Right Side
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right¨»«mtr»«mtd»«msup»«mn»9«/mn»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mn»9«/mn»«mrow»«mn»4«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mn»9«/mn»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»12«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»00512«/mn»«mo»§#8230;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mn»27«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mn»27«/mn»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mn»27«/mn»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨».«/mi»«mn»00512«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8230;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

Yes, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» is the solution.
It is not always easy to express the powers in an exponential equation with like bases.

Consider the equation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/mstyle»«/math» are powers with different bases, and it is difficult to write the powers with like bases without using logarithms, which is a topic in Math 30-1 that hasn’t yet been discussed.

Thus, an equation such as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» may have a solution, but you will need to wait until Unit 4: Logarithms to see how it can be found algebraically.

Think about what the equation is stating.

The equation is stating that a value for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» exists such that if «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» is raised to that value, it will result in the same value as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» raised to that value.

Try «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mn»4«/mn»«mn»1«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mn»3«/mn»«mn»1«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

Because «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#8800;«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» cannot be equal to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».

Likewise if «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», then «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mn»4«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»9«/mn»«/mstyle»«/math». Clearly, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» does not equal «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» for this equation to be true either.

Trial and error is one way to solve this type of equation, but trial and error can be incredibly time-consuming.

Graphing is another way to solve the equation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».


At «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», the graphs intersect.

Logically, it makes sense.

If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», the result will be «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».

In this case, even without graphing technology, a quick sketch of the graphs of the two functions might have reminded us where the two functions intersect.