L2.1 B2 Reference Triangles - Part 2
Completion requirements
Unit 2
Trigonometry
These two reference triangles can be used to determine «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mo»§#952;«/mo»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» when «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math» is a multiple of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»30«/mn»«mo»§#176;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»45«/mn»«mo»§#176;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Converting the angles to radians gives the following two reference triangles, which can be used to determine «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mo»§#952;«/mo»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» when «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math» is a multiple of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math» or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math».
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup mathcolor=¨#FFFFFF¨»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FFFFFF¨»30«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FFFFFF¨»§#8722;«/mo»«msup mathcolor=¨#FFFFFF¨»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FFFFFF¨»60«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FFFFFF¨»§#8722;«/mo»«msup mathcolor=¨#FFFFFF¨»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FFFFFF¨»90«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mstyle»«/math» Reference Triangle | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup mathcolor=¨#FFFFFF¨»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FFFFFF¨»45«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FFFFFF¨»§#8722;«/mo»«msup mathcolor=¨#FFFFFF¨»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FFFFFF¨»45«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FFFFFF¨»§#8722;«/mo»«msup mathcolor=¨#FFFFFF¨»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FFFFFF¨»90«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» Reference Triangle |
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Converting the angles to radians gives the following two reference triangles, which can be used to determine «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mo»§#952;«/mo»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» when «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math» is a multiple of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math» or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math».
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac mathcolor=¨#FFFFFF¨»«mo»§#960;«/mo»«mn»6«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FFFFFF¨»§#8722;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#FFFFFF¨»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FFFFFF¨»§#8722;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#FFFFFF¨»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math»Reference Triangle |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac mathcolor=¨#FFFFFF¨»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FFFFFF¨»§#8722;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#FFFFFF¨»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FFFFFF¨»§#8722;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#FFFFFF¨»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» Reference Triangle |
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If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mo»§#952;«/mo»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» is the point of intersection of the terminal arm of angle «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math» and the unit circle, determine the coordinates of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»225«/mn»«mo»§#176;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Start by drawing a unit circle with an angle of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»225«/mn»«mo»§#176;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» in standard position.
Notice the angle between the negative «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-axis and the terminal arm is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»225«/mn»«mo»§#176;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»180«/mn»«mo»§#176;«/mo»«mo»=«/mo»«mn»45«/mn»«mo»§#176;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math». Because this angle is drawn on the unit circle, the terminal arm has a length of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».
This matches the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»45«/mn»«mo»§#176;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»45«/mn»«mo»§#176;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»90«/mn»«mo»§#176;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» reference triangle.
The leg lengths of the triangle can be used to determine the coordinates of the point where the terminal arm intersects the unit circle.
So, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»225«/mn»«mo»§#176;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Note: While the leg lengths of the reference triangle are positive, the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»- and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinates of points located in quadrant III are negative.
Note: While the leg lengths of the reference triangle are positive, the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»- and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinates of points located in quadrant III are negative.