Unit 2

Trigonometry

In the previous example, an angle between the terminal arm and the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-axis was drawn. This angle is often called a reference angle. Reference angles can be helpful when determining the coordinates of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mo»§#952;«/mo»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».

Example 5

Solution

Start by drawing a diagram.

Again, the angle between the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-axis and the terminal arm is the reference angle. In this case it is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#960;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math». Because this angle is drawn on the unit circle, the terminal arm has a length of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».

Use the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»6«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» reference triangle.

The leg lengths of the triangle can be used to determine the coordinates of the point where the terminal arm intersects the unit circle.

So, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mfrac»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».

The coordinates of point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mo»§#952;«/mo»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math», the intersection of the terminal arm of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math» and the unit circle, can be used to determine possible values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math».

Example 6

If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mo»§#952;«/mo»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» is the point of intersection of the terminal arm of angle «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math» and the unit circle, determine all values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math» for which «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mo»§#952;«/mo»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math», where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math» is measured in degrees.

Solution

Start by drawing a diagram.

Next, draw a vertical line from point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»P«/mi»«/mstyle»«/math» to the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-axis to make a triangle. Notice the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»- and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinates provide the lengths of the legs of the triangle.

These side lengths match the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»30«/mn»«mo»§#176;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»60«/mn»«mo»§#176;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»90«/mn»«mo»§#176;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» reference triangle.

If the reference angle in the triangle is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»30«/mn»«mo»§#176;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math», an angle drawn in standard position is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»360«/mn»«mo»§#176;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»30«/mn»«mo»§#176;«/mo»«mo»=«/mo»«mn»330«/mn»«mo»§#176;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math».

So, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»330«/mn»«mo»§#176;«/mo»«/mstyle»«/math» is one possible value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math». Recall any angle coterminal to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»330«/mn»«mo»§#176;«/mo»«/mstyle»«/math» will also have the same terminal arm, so all angles cotermimal to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»330«/mn»«mo»§#176;«/mo»«/mstyle»«/math» will be possible values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math». Coterminal angles can be found by adding or subtracting multiples of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»360«/mn»«mo»§#176;«/mo»«/mstyle»«/math» to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»330«/mn»«mo»§#176;«/mo»«/mstyle»«/math», so «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mn»330«/mn»«mo»§#176;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»360«/mn»«mo»§#176;«/mo»«mi»n«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»n«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»N«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».

All possible values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math» were determined in Example 6. This is often referred to as the general solution.

So far, only angles that are multiples of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»30«/mn»«mo»§#176;«/mo»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»45«/mn»«mo»§#176;«/mo»«/mstyle»«/math» («math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math») have been explored. However, it is possible to determine unknowns in the relationship «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mo»§#952;«/mo»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» for any angle measure. Lesson 2.2 will discuss characteristics of the three primary trigonometric ratios that will allow you to do this.