L2.2 A2 Trigonometric Ratios - Part 6
Completion requirements
Unit 2
Trigonometry
Reciprocal Trigonometric Ratios
So far, you have looked at the three primary trigonometric ratios. Notice each used two sides of the right triangle shown.«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi mathcolor=¨#FF0000¨»y«/mi»«mn mathcolor=¨#00B200¨»1«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi mathcolor=¨#0080FF¨»x«/mi»«mn mathcolor=¨#00B200¨»1«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»tan«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi mathcolor=¨#FF0000¨»y«/mi»«mi mathcolor=¨#0080FF¨»x«/mi»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi mathcolor=¨#0080FF¨»x«/mi»«mn mathcolor=¨#00B200¨»1«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»tan«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi mathcolor=¨#FF0000¨»y«/mi»«mi mathcolor=¨#0080FF¨»x«/mi»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
cosecant, where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»csc«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn mathcolor=¨#00B200¨»1«/mn»«mi mathcolor=¨#FF0000¨»y«/mi»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
secant, where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»sec«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn mathcolor=¨#00B200¨»1«/mn»«mi mathcolor=¨#0080FF¨»x«/mi»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
cotangent, where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»cot«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi mathcolor=¨#0080FF¨»x«/mi»«mi mathcolor=¨#FF0000¨»y«/mi»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
These are called the reciprocal trigonometric ratios. Notice they are just the reciprocals of the three primary trigonometric ratios. It is possible to use these ratios directly, or you can convert them to primary trigonometric ratios.
Determine the exact value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sec«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Start by drawing a diagram.
The reference angle is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
This matches the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»6«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» reference triangle.
Use this information to determine «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The secant is the ratio «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mstyle»«/math», where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is the intersection of the terminal arm of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» and the unit circle. So,
Finally, rationalize the denominator.
So, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sec«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»sec«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Finally, rationalize the denominator.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«mo»§#8226;«/mo»«mfrac»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
So, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sec«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cot«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», determine all possible values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math», to the nearest tenth of a degree.
The ratio «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» cannot be made using either of the two reference triangles, so technology will be used. Unfortunately, most calculators do not include a «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»cot«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mstyle»«/math» function. To use a calculator, the value of the cotangent ratio will need to be converted to a tangent ratio. If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» is the point of intersection of the terminal arm of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math» and the unit circle, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cot«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»tan«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»y«/mi»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math». This means «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cot«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»tan«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Entering this into a calculator gives «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»59«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»036«/mn»«mi»...«/mi»«mo»§#176;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math». This represents one possible value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math».
Although «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»59«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»036«/mn»«mi»...«/mi»«mo»§#176;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» is a value for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math», it is conventional to use angles from the first positive rotation when writing a general solution. From the diagram, it can be seen the reference angle is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»59«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»036«/mn»«mi»...«/mi»«mo»§#176;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math», so the coterminal angle from the first positive rotation is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»360«/mn»«mo»§#176;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»59«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»036«/mn»«mi»...«/mi»«mo»§#176;«/mo»«mo»=«/mo»«mn»300«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»963«/mn»«mi»...«/mi»«mo»§#176;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math».
To find other values for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math» from the first rotation, think about the signs of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math». In quadrant IV, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» is positive and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math» is negative, so «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«/mfrac»«/mstyle»«/math» is negative. This ratio is also negative in quadrant II, where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» is negative and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math» is positive.
So, there will be «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math»-values that terminate in quadrant II as well.
Use the reference angle of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»59«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»036«/mn»«mi»...«/mi»«mo»§#176;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» to determine the value of the first rotation’s quadrant II angle.
So, the other «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math»-value from the first rotation is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»120«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»936«/mn»«mi»...«/mi»«mo»§#176;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The possible values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math» are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»120«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»936«/mn»«mi»...«/mi»«mo»§#176;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»360«/mn»«mo»§#176;«/mo»«mi»n«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»n«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»I«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»300«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»963«/mn»«mi»...«/mi»«mo»§#176;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»360«/mn»«mo»§#176;«/mo»«mi»n«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»n«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»I«/mi»«/mstyle»«/math».
Angles that have the same tangent (and cotangent) are multiples of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»180«/mn»«mo»§#176;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» apart, so these expressions can be combined to
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»tan«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»tan«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»tan«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Entering this into a calculator gives «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»59«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»036«/mn»«mi»...«/mi»«mo»§#176;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math». This represents one possible value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math».
The possible values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math» are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»120«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»936«/mn»«mi»...«/mi»«mo»§#176;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»360«/mn»«mo»§#176;«/mo»«mi»n«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»n«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»I«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»300«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»963«/mn»«mi»...«/mi»«mo»§#176;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»360«/mn»«mo»§#176;«/mo»«mi»n«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»n«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»I«/mi»«/mstyle»«/math».
Angles that have the same tangent (and cotangent) are multiples of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»180«/mn»«mo»§#176;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» apart, so these expressions can be combined to
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8784;«/mo»«mn»121«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»180«/mn»«mo»§#176;«/mo»«mi»n«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»n«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»I«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».