L2.3 B1 Solving Trigonometric Equations Graphically - Part 2
Completion requirements
Unit 2
Trigonometry
Many graphing programs and calculators only use the primary trigonometric ratios. If an equation includes a reciprocal ratio, you may need to convert it to a primary trigonometric ratio to solve graphically.
Graphically determine the general solution to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cot«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»7«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math», to the nearest hundredth of a radian.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mi»cot«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»7«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»7«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The solutions to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cot«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»7«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» are approximately «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo»,«/mo»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»05«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»4«/mn»«mo».«/mo»«mn»19«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»7«/mn»«mo».«/mo»«mn»33«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»10«/mn»«mo».«/mo»«mn»48«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math». But, a general solution is required. To write the general solution, find all the solutions that occur within one period, and add the length of the period «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»n«/mi»«/mstyle»«/math» times. In this case, there is only one solution per period, so there will only be one expression in the general solution.
Notice this general solution includes «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»19«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»7«/mn»«mo».«/mo»«mn»33«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»10«/mn»«mo».«/mo»«mn»48«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»n«/mi»«/mstyle»«/math»-values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math», and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math», respectively.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mi»cot«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»7«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»7«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8784;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»05«/mn»«mo»+«/mo»«mi»n«/mi»«mo»§#960;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»n«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»I«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Notice this general solution includes «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»19«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»7«/mn»«mo».«/mo»«mn»33«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»10«/mn»«mo».«/mo»«mn»48«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»n«/mi»«/mstyle»«/math»-values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math», and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math», respectively.
Solving Problems Involving Trigonometric Equations
So far, the input for a trigonometric function or equation has been an angle. However, trigonometric functions can be used to model situations that do not use angles. These functions and equations act the same mathematically, but need to be interpreted differently.
The depth of water, in metres, at a particular point in a wave pool, at time «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»t«/mi»«/mstyle»«/math» seconds, is modelled by the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»d«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»4«/mn»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mo»§#960;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
a.
Determine the depth of water at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»34«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», to the nearest centimetre.
b.
During the first «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»15«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/mstyle»«/math», when is the water «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«mo».«/mo»«mn»7«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/mstyle»«/math» deep?
a.
This can be solved by substituting «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»34«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the function and evaluating it using a calculator in radian mode.
At «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»34«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», the depth is approximately «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»115«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»d«/mi»«mfenced»«mn»34«/mn»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»4«/mn»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mo»§#960;«/mo»«mfenced»«mn»34«/mn»«/mfenced»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»d«/mi»«mfenced»«mn»34«/mn»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»153«/mn»«mi»...«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
At «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»34«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», the depth is approximately «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»115«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/mstyle»«/math».
b.
The equation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»7«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»4«/mn»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mo»§#960;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» can be solved graphically.
The water will be at a depth of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«mo».«/mo»«mn»7«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/mstyle»«/math» at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»6«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»8«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»12«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math», and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»14«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/mstyle»«/math».