L2.4 A2 Reciprocal, Quotient, and Pythagorean Identities - Part 3
Completion requirements
Unit 2
Trigonometry
Pythagorean Identities
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mo»§#952;«/mo»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» be the intersection of the terminal arm of angle «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math», in standard position, and the unit circle. Recall this point can be used to draw a right angle with sides «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math», and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».
It is also true that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math». This information allows us to derive an identity using the Pythagorean theorem.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Dividing this identity by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» gives a second identity.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Dividing the original identity by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» gives a third identity.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»tan«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Pythagorean Identities
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»tan«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Simplify the expression «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math».
Start by determining any non-permissible values.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Both «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» will make a denominator in the expression equal to zero.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» when «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»n«/mi»«mo»§#960;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»n«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»I«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» when «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»n«/mi»«mo»§#960;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»n«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»I«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math». These expressions can be combined to give the restrictions on «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8800;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»n«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»I«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Next, look for an identity that will help simplify the expression. «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is used, so try working with «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»tan«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»tan«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»tan«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»