L2.4 B1 Sum, Difference, and Double Angle Identities - Part 5
Completion requirements
Unit 2
Trigonometry
If you encounter the sine of a sum of angles, the identity «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#945;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#946;«/mo»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» can be used. Identities for the cosine of a sum and tangent of a sum can be derived in a similar manner.
Sum Identities
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#945;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#946;«/mo»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#945;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#946;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»tan«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#945;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mo»+«/mo»«mi»tan«/mi»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»tan«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»tan«/mi»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
There are also identities for angle differences.
Difference Identities
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#945;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#946;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#945;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#946;«/mo»«mo»+«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»tan«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#945;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»tan«/mi»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mi»tan«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»tan«/mi»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Sum Identities
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#945;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#946;«/mo»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#945;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#946;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»tan«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#945;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mo»+«/mo»«mi»tan«/mi»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»tan«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»tan«/mi»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
There are also identities for angle differences.
Difference Identities
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#945;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#946;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#945;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#946;«/mo»«mo»+«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»tan«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#945;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»tan«/mi»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mi»tan«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»tan«/mi»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Determine the exact value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cos«/mi»«mn»195«/mn»«mo»§#176;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The angle «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»195«/mn»«mo»§#176;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» is not a multiple of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»30«/mn»«mo»§#176;«/mo»«/mstyle»«/math» or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»45«/mn»«mo»§#176;«/mo»«/mstyle»«/math», so the exact value cannot be determined using methods seen in Lesson 2.2. However, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»225«/mn»«mo»§#176;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» is a multiple of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»45«/mn»«mo»§#176;«/mo»«/mstyle»«/math», and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»225«/mn»«mo»§#176;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»30«/mn»«mo»§#176;«/mo»«mo»=«/mo»«mn»195«/mn»«mo»§#176;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math». As such, the difference identity for cosine can be used.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#945;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#946;«/mo»«mo»+«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#946;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»225«/mn»«mo»§#176;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»30«/mn»«mo»§#176;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«mn»225«/mn»«mo»§#176;«/mo»«mi»cos«/mi»«mn»30«/mn»«mo»§#176;«/mo»«mo»+«/mo»«mi»sin«/mi»«mn»225«/mn»«mo»§#176;«/mo»«mi»sin«/mi»«mn»30«/mn»«mo»§#176;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mfrac»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«msqrt»«mn»6«/mn»«/msqrt»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mn»6«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»p«/mi»«mo»=«/mo»«mi»q«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», write an expression for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»p«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» in terms of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»q«/mi»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»p«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»sin«/mi»«mi»p«/mi»«mi»cos«/mi»«mo»§#960;«/mo»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»p«/mi»«mi»sin«/mi»«mo»§#960;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mi»q«/mi»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»p«/mi»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»q«/mi»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»q«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
So, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»p«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»q«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».