L2.4 B3 Practice Solutions
Completion requirements
Unit 2
Trigonometry
Practice Solutions
Practice 2.4B Solutions
Use these solutions to correct your work. When finished, give yourself a grade using the Practice Assessment rubric.Pages 306 and 307, questions 1a, 1e, 2a, 2c, 4a to 4c, 5a, 5d, 8a, 8c, 8e, 9a, 11a, 11c, 14, and 19a.
a.
The expression matches the right side of the sum identity for the cosine function.
In this case, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mn»43«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»B«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mn»27«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Use the values for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»A«/mi»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»B«/mi»«/mstyle»«/math» in the left side of the identity.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»A«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»B«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»A«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»B«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
In this case, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mn»43«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»B«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mn»27«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Use the values for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»A«/mi»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»B«/mi»«/mstyle»«/math» in the left side of the identity.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mn»43«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mn»27«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»cos«/mi»«msup»«mn»70«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b.
The expression is similar to the right side of the double angle identity for the sine function, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»sin«/mi»«mi»A«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»A«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», where the value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»A«/mi»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math».
Write the expression «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»sin«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8226;«/mo»«mi»cos«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»4«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»sin«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8226;«/mo»«mi»cos«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» and replace «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»sin«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8226;«/mo»«mi»cos«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» with «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The expression is then «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»sin«/mi»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Write the expression «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»sin«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8226;«/mo»«mi»cos«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»4«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»sin«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8226;«/mo»«mi»cos«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» and replace «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»sin«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8226;«/mo»«mi»cos«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» with «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The expression is then «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»sin«/mi»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
a.
The expression can be written as a single trigonometric function by simplifying using the sum identity for cosine.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»A«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»B«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»A«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»B«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mn»40«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»B«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mn»20«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mn»40«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mn»20«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«msup»«mn»60«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»cos«/mi»«msup»«mn»60«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mn»40«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mn»20«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«msup»«mn»60«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»cos«/mi»«msup»«mn»60«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
c.
The expression matches the right side of the double angle identity for cosine.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»A«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»A«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mfenced»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»cos«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mfenced»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»cos«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
a.
The expression matches the right side of the double angle identity for the sine function.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»sin«/mi»«mi»A«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»A«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mfenced»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mfenced»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b.
Factor the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math» out.
Now, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mn»24«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mn»24«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» matches the double angle identity for cosine.
Therefore, the expression can be written as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»6«/mn»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mfenced»«msup»«mn»24«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mfenced»«mi»tan«/mi»«msup»«mn»48«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«mi»cos«/mi»«msup»«mn»48«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«mi»tan«/mi»«msup»«mn»48«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Remember that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»tan«/mi»«msup»«mn»48«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«msup»«mn»48«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«msup»«mn»48«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Now, the expression reads «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»6«/mn»«mi»cos«/mi»«msup»«mn»48«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«mo»§#8226;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«msup»«mn»48«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«msup»«mn»48«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«mi»sin«/mi»«msup»«mn»48«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»6«/mn»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mn»24«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mn»24«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mi»tan«/mi»«msup»«mn»24«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Now, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mn»24«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mn»24«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» matches the double angle identity for cosine.
Therefore, the expression can be written as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»6«/mn»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mfenced»«msup»«mn»24«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mfenced»«mi»tan«/mi»«msup»«mn»48«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«mi»cos«/mi»«msup»«mn»48«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«mi»tan«/mi»«msup»«mn»48«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Remember that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»tan«/mi»«msup»«mn»48«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«msup»«mn»48«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«msup»«mn»48«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Now, the expression reads «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»6«/mn»«mi»cos«/mi»«msup»«mn»48«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«mo»§#8226;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«msup»«mn»48«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«msup»«mn»48«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«mi»sin«/mi»«msup»«mn»48«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
c.
The expression matches the right side of the double angle identity for the tangent function.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mi»tan«/mi»«mn»2«/mn»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»tan«/mi»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»tan«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»A«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mn»76«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»tan«/mi»«mn»2«/mn»«mfenced»«msup»«mn»76«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»tan«/mi»«msup»«mn»152«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
a.
The numerator is the left side of the double angle identity for the sine function. Expand «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
d.
First, the numerator can be written «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8226;«/mo»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and the denominator can be written as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» by using the double angle identity for cosine.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8226;«/mo»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8226;«/mo»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
a.
The trigonometric function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cos«/mi»«msup»«mn»75«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» can be written as the sum of two special angles. «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cos«/mi»«msup»«mn»75«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mn»30«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mn»45«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math», and now the sum identity for cosine can be used to expand the function.
Rationalize the denominator.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»cos«/mi»«msup»«mn»30«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«mi»cos«/mi»«msup»«mn»45«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«msup»«mn»30«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«mi»sin«/mi»«msup»«mn»45«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mfrac»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mfrac»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Rationalize the denominator.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msqrt»«mn»6«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»7«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»12«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»12«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»12«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The expression can then be written as the sum identity for the sine function.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»sin«/mi»«mi»A«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»B«/mi»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»A«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»sin«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi»cos«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi»sin«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mfrac»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«msqrt»«mn»6«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
e.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»12«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»12«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»12«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Next, cosecant is the reciprocal function of sine.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»csc«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»csc«/mi»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»sin«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi»cos«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi»sin«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mfenced»«mfrac»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mfenced»«mrow»«mfrac»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mfenced»«mfrac»«mrow»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
And, to rationalize the denominator, multiply the numerator and denominator by the conjugate of the denominator, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», to get «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msqrt»«mn»6«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math» or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»000«/mn»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»113«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«msup»«mn»5«/mn»«mo accent=¨true¨»§#176;«/mo»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
The right side of the equation matches the sum identity for sine.
a.
Use the Double Angle Identity
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»A«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»A«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»A«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»A«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»A«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»13«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»50«/mn»«mn»169«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»119«/mn»«mn»169«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
c.
Recognize the sum identity for sine can be used.
The Pythagorean theorem can be used to determine the cosine ratio for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math». We also know the sine and cosine ratios of the special angle «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mn»13«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»12«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math» in quadrant II
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mi»cos«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mi»sin«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
The Pythagorean theorem can be used to determine the cosine ratio for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math». We also know the sine and cosine ratios of the special angle «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mn»13«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»12«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math» in quadrant II
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mi»cos«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mi»sin«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»13«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»12«/mn»«mn»13«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»12«/mn»«mn»13«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
And
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
So, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Use the Pythagorean identity.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»=«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Then, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
And
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»k«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»k«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
a.
The given cosine ratio indicates that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», so the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-value is positive. The terminal arm of angle «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math» could lie in quadrant I or quadrant IV.
Using the Pythagorean theorem, we can determine the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-value.
In quadrant I, the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-value is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» and in quadrant IV, the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-value is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math».
Now, evaluate the sum identity for the sine function with the given information and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Or, if the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-value is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math», the sum identity is as follows.
Using the Pythagorean theorem, we can determine the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-value.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»9«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»25«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»16«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mi»or«/mi»«/mtd»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
In quadrant I, the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-value is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» and in quadrant IV, the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-value is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math».
Now, evaluate the sum identity for the sine function with the given information and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mi»cos«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»6«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mi»sin«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mfenced»«mfrac»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn»10«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»10«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mn»10«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Or, if the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-value is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math», the sum identity is as follows.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mi»cos«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»6«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mi»sin«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mfenced»«mfrac»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn»10«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»10«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mn»10«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»