a.

Factor out «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» first.


Then, use a Pythagorean identity and reduce.

d.

Factor the numerator and denominator first. Then, write the tangent function in terms of sine and cosine.

b.

d.

Factor numerator and denominator.

c.

The common denominator is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».


Then, use a Pythagorean identity.

d.

The common denominator is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math». Note also that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».


Now, simplify the numerator.


Next, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mn»2«/mn»«mrow»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math» can be expressed as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mn»2«/mn»«mrow»«msup»«mi»tan«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».

Verify Graphically:

Graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».


Graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».


The graphs of the two sides of the equation are the same.

Algebraic proof:

The left side of the equal sign is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math». It is a single trigonometric function and cannot be reduced further.

Right side:

Using the double angle identity «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»sin«/mi»«mi»A«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»A«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», the right side becomes «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math», which reduces to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».

The left side equals the right side.

The equation has been proven algebraically to be an identity, and this finding is supported graphically.

Non-Permissible Values:

In the case of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», there are no non-permissible values.

In the case of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math», there are non-permissible values.


Depending on your graphing software, you may notice “holes” in the graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» for the window provided above.

b.

Use a Pythagorean identity.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»Left«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»side«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§#8201;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math»

In the numerator, a Pythagorean identity can be used. Recall «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math». The denominator can also be factored.




«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»Right«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»side«/mi»«mo»:«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

The left side equals the right side.