L3.2 B1 Transforming Sinusoidal Functions - Part 3
Completion requirements
Unit 3
Transformations
Amplitude
Recall amplitude is related to vertical stretch.The amplitude is the distance from the midline of the graph of a sinusoidal function to the maximum (or minimum). Because amplitude is a distance, it is never negative. The amplitude can be found using the formula «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»amplitude«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»maximum«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»minimum«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The amplitude of the function is the value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»a«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math» in «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»b«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»d«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»b«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»d«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The amplitude can be calculated by subtracting the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-value of the midline from the maximum «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-value.
Sketch the graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mo mathvariant=¨italic¨»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» using transformations.
List the values of the transformation parameters.
There are some key points on the graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» that can be used to map to the graph of the transformed function.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo mathvariant=¨italic¨»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math», and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨italic¨»§#960;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» are three points that can be used for mapping. Consider the point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» first.
The amplitude of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» means all «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-values are multiplied by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math».
The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»b«/mi»«/mstyle»«/math»-value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» means a horizontal stretch has not occurred. The phase shift, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mo mathvariant=¨italic¨»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math», means «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math»-values shift to the right «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mo mathvariant=¨italic¨»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math» units.
The vertical displacement, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»d«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», means all «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-values shift up «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» units.
The midline of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» is the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math»-axis. The graph of the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» has a point at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math», which lies on the midline.
The point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» mapped to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo mathvariant=¨italic¨»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math», so the point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo mathvariant=¨italic¨»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» lies on the midline of the graph of the transformed function.
The midline of the transformed function is at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Note the midline is the same as the vertical displacement.
Following the same procedure,
Note: As before, always perform reflections and stretches before translations, unless otherwise specified.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mo mathvariant=¨italic¨»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
There are some key points on the graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» that can be used to map to the graph of the transformed function.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo mathvariant=¨italic¨»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math», and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨italic¨»§#960;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» are three points that can be used for mapping. Consider the point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» first.
The amplitude of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» means all «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-values are multiplied by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8594;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»b«/mi»«/mstyle»«/math»-value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» means a horizontal stretch has not occurred. The phase shift, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mo mathvariant=¨italic¨»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math», means «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math»-values shift to the right «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mo mathvariant=¨italic¨»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math» units.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8594;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo mathvariant=¨italic¨»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
The vertical displacement, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»d«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», means all «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-values shift up «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» units.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo mathvariant=¨italic¨»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mo»§#8594;«/mo»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo mathvariant=¨italic¨»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
The midline of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» is the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math»-axis. The graph of the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» has a point at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math», which lies on the midline.
The point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» mapped to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo mathvariant=¨italic¨»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math», so the point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo mathvariant=¨italic¨»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» lies on the midline of the graph of the transformed function.
The midline of the transformed function is at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Note the midline is the same as the vertical displacement.
Following the same procedure,
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo mathvariant=¨italic¨»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8594;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo mathvariant=¨italic¨»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8594;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨italic¨»§#960;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8594;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨italic¨»§#960;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨italic¨»§#960;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8594;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨italic¨»§#960;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8594;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo mathvariant=¨italic¨»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8594;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo mathvariant=¨italic¨»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».