L3.2 D1 Transforming Rational Functions - Part 2
Completion requirements
Unit 3
Transformations
Rational Functions Not in the Form «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨18px¨»«mi mathcolor=¨#060C1A¨»y«/mi»«mo mathcolor=¨#060C1A¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#060C1A¨»«mi»a«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo mathcolor=¨#060C1A¨»+«/mo»«mi mathcolor=¨#060C1A¨»k«/mi»«/mstyle»«/math»
When a rational function is written in the form «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»a«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», the horizontal and vertical asymptotes can be determined easily.The vertical asymptote is at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», and the horizontal asymptote is at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Not all rational functions are written in the form «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»a«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math». However, algebraic steps can be followed to express a rational function in the form «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»a«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
For the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»,
a.
identify the intercepts, and
b.
sketch the graph using transformations.
a.
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#FFFFFF¨»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#FFFFFF¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FFFFFF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FFFFFF¨»0«/mn»«/mstyle»«/math» |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#FFFFFF¨»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#FFFFFF¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FFFFFF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FFFFFF¨»0«/mn»«/mstyle»«/math» |
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept is at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math». |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»2«/mn»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept is at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math». |
b.
To graph using transformations, convert the function to the form «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»a«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» can be written as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Note the first term now looks like «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mi»a«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math», but the second term does not look like «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»+«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math». The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» in the numerator and the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» in the denominator must be eliminated.
An «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» can be created in the numerator of the second term by adding and subtracting «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math». This does not change the function because «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», and the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» in the numerator and denominator will be eliminated.
The next step is to remove the positive «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» from the brackets. To do this, multiply it by the coefficient, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math».
Now, the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» in the numerator and denominator of the second term can be eliminated, and the equation can be rewritten in the form «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»a«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The equation of the transformed function is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»10«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Starting with «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math», there is a vertical stretch by a factor of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math», a translation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» units to the right, and a translation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» units up.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» can be written as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Note the first term now looks like «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mi»a«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math», but the second term does not look like «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»+«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math». The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» in the numerator and the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» in the denominator must be eliminated.
An «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» can be created in the numerator of the second term by adding and subtracting «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math». This does not change the function because «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», and the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» in the numerator and denominator will be eliminated.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo mathcolor=¨#FF0000¨»§#8722;«/mo»«mn mathcolor=¨#FF0000¨»4«/mn»«mo mathcolor=¨#FF0000¨»+«/mo»«mn mathcolor=¨#FF0000¨»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
The next step is to remove the positive «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» from the brackets. To do this, multiply it by the coefficient, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathcolor=¨#FF0000¨»+«/mo»«mn mathcolor=¨#FF0000¨»8«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn mathcolor=¨#FF0000¨»8«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Now, the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» in the numerator and denominator of the second term can be eliminated, and the equation can be rewritten in the form «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»a«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mtable
columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«menclose
notation=¨updiagonalstrike¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/menclose»«/mrow»«menclose
notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/menclose»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn
mathcolor=¨#FF0000¨»8«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»10«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The equation of the transformed function is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»10«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Starting with «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math», there is a vertical stretch by a factor of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math», a translation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» units to the right, and a translation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» units up.