L4.1 A4 Converting from Exponential to Logarithmic Form
Completion requirements
Unit 4
Logarithms
Converting from Exponential to Logarithmic Form
If a logarithmic equation can be expressed as an exponential equation, then an exponential equation can be expressed as a logarithmic equation.
The exponential equation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»81«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» can be written as the logarithmic equation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»log«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«mn»81«/mn»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Recall your work with inverse functions in Lesson 3.1D.
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math», the inverse would be determined by switching the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» and the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math» in the equation and solving for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math».
The inverse will be «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mi»y«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Now, express the exponential equation of the inverse as a logarithmic function.
The exponential equation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»81«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» can be written as the logarithmic equation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»log«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«mn»81«/mn»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Recall your work with inverse functions in Lesson 3.1D.
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math», the inverse would be determined by switching the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» and the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math» in the equation and solving for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
The inverse will be «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mi»y«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Now, express the exponential equation of the inverse as a logarithmic function.
«math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center
left¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mn»3«/mn»«mi»y«/mi»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»log«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The inverse of the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
By converting between exponential and logarithmic functions, it can be seen that the inverse of an exponential function is a logarithmic function, and vice versa.
Note: if a function is graphed with its inverse, they are reflections in the line «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
By converting between exponential and logarithmic functions, it can be seen that the inverse of an exponential function is a logarithmic function, and vice versa.
Note: if a function is graphed with its inverse, they are reflections in the line «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Note that the point «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace
width=¨0.33em¨/»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» lies on the
graph of
the function «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
And, since the point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» lies on the graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math», the point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» will lie on the graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Now, express the logarithmic equation as an exponential equation.
And, since the point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» lies on the graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math», the point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» will lie on the graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mtable
columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«mo»=«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Now, express the logarithmic equation as an exponential equation.
«math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mtable
columnalign=¨right¨»«mtr»«mtd»«msup»«mn»3«/mn»«mn»0«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Click through the tabs below to view the important characteristics of logarithms.
In the logarithm «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»log«/mi»«mi»c«/mi»«/msub»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨italic¨»§#160;«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is called the base.
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», then the logarithm is called a common logarithm. Your calculator uses base «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math» logarithms by default. In the common logarithm «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»log«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», the value of the base, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»c«/mi»«/mstyle»«/math», is assumed to be «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math».
Consider the challenges posed by a logarithm with a base of one.
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mi»c«/mi»«/msub»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», then
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mn»1«/mn»«mi»y«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
but then,
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mn»1«/mn»«mn»1«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mn»1«/mn»«mn»0«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mn»1«/mn»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»1«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mn»1«/mn»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr/»«mtr/»«mtr/»«mtr/»«mtr/»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Because one to any power is one, graphically speaking, this would result in the vertical line «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», which is not the inverse of the graph of an exponential function. As such, the base of a logarithm cannot be one.
The value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»c«/mi»«/mstyle»«/math», while not equal to one, must also be greater than zero. Think about the result of a negative base raised to an exponent. If the exponent is even, the result is a positive value. If the exponent is odd, the result is a negative value.
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mi»c«/mi»«/msub»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»c«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», in this case if «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», then
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»y«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
but then,
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»1«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mn»2«/mn»«mn»0«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»8«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Because the value of the exponential expression on the left fluctuates from positive to negative, the resulting graph would be discontinuous. Exponential functions are continuous, so the graph of its inverse must also be continuous. As such, the base of a logarithm must be positive, but not equal to one.
Because «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mi»c«/mi»«/msub»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» can be written as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»c«/mi»«mi»y«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» must be greater than zero. Regardless of the value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math», if «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»c«/mi»«/mstyle»«/math» is positive and not equal to one, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» will always be positive in «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»c«/mi»«mi»y«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Try various exponential values in «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»c«/mi»«mi»y«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»c«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»c«/mi»«mo»§#8800;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» to see that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mi»c«/mi»«mn»1«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»c«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»c«/mi»«mn»0«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»c«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»c«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»c«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mi»c«/mi»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Logarithmic and exponential functions are inverses.
Recall that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mi»c«/mi»«/msub»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»c«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» are inverse functions, where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»c«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»c«/mi»«mo»§#8800;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».