L4.2 A2 Laws of Logarithms - Part 4
Completion requirements
Unit 4
Logarithms
Simplifying Expressions Involving Logarithms
You now have the skills to simplify logarithmic expressions involving variables. However, when variables are involved, be sure to attend to any restrictions on those variables.Simplify «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»log«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»,
and then state the restrictions on the variable.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msub»«mi»log«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»log«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mfenced»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»log«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mfenced»«mfrac»«mrow»«menclose
notation=¨updiagonalstrike¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/menclose»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/menclose»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»log«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
In its simplified form, the expression is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»log«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
To determine the restrictions on the variable, refer to the original expression.
Both logarithmic terms must be defined.
Therefore, the restrictions state that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» must be greater than «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» or less than «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Test values from each restriction.
Use «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math».
Both arguments are positive, and therefore the logarithm is defined.
Use «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math».
Again, both arguments are positive and the logarithms are defined.
To determine the restrictions on the variable, refer to the original expression.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»log«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Both logarithmic terms must be defined.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
In the case of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», factor the
difference of squares. If both factors are
positive, the product is positive.
To satisfy both conditions, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Also, if both factors are negative, the product is also positive.
To satisfy both conditions, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
To satisfy both conditions, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Also, if both factors are negative, the product is also positive.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math»
To satisfy both conditions, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math».
In the case of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», factor the
trinomial. If both factors are positive, the
product is positive.
To satisfy both conditions, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
This statement matches the statement in the condition to the left.
Also, if both factors are negative, the product is also positive.
To satisfy both conditions, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math». However, from the statement to the left, the restriction must be «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math»
To satisfy both conditions, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
This statement matches the statement in the condition to the left.
Also, if both factors are negative, the product is also positive.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math»
To satisfy both conditions, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math». However, from the statement to the left, the restriction must be «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math».
Therefore, the restrictions state that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» must be greater than «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» or less than «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Test values from each restriction.
Use «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»log«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mo»=«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mfenced»«mrow»«msup»«mn»4«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mfenced»«mrow»«msup»«mn»4«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mo»=«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mfenced»«mn»7«/mn»«/mfenced»«mo»-«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mfenced»«mn»6«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Both arguments are positive, and therefore the logarithm is defined.
Use «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»log«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mfenced»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mfenced»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mo»=«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mfenced»«mn»7«/mn»«/mfenced»«mo»-«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mfenced»«mn»14«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Again, both arguments are positive and the logarithms are defined.