L5.1 C3 Composite Functions - Part 3
Completion requirements
Unit 5
Function Operations
Determining the Original Functions from a Composite Function
In earlier sections of this Lesson, you worked backward to determine the equation of a function when given another function along with a sum, difference, product, or quotient function.
It is also possible to work backwards to find the equations of functions that make up a composite function.
It is also possible to work backwards to find the equations of functions that make up a composite function.
Question
Given «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mroot»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/mroot»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mroot»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math», where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math», determine possible equations for the functions «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Look for a function of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» that is common to both terms in «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The common function is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mroot»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mstyle»«/math». Replace it with the notation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
This pair of functions is not the only possible solution. For example, if «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mroot»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mroot»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mroot»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mroot»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/mroot»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mroot»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» is still true.
The common function is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mroot»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mstyle»«/math». Replace it with the notation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»Now, recall the notation for a composite function.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»Then, recall that the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» replaced «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» in the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»Therefore, two possible functions are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mroot»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
This pair of functions is not the only possible solution. For example, if «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mroot»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mroot»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mroot»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mroot»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/mroot»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mroot»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» is still true.