Unit 6

Permutations, Combinations, and The Binomial Theorem

Practice Solutions

Practice 6.1A Solutions

Use these solutions to correct your work. When finished, give yourself a grade using the Practice Assessment rubric.

Pages 524 to 526, questions 3, 5a, 5b, 6, 7d, 8b, 10a to 10c, 13, 18a, and 18b.
Left Side Right Side
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right¨»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»!«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»!«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»24«/mn»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»30«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨»!«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfenced»«mn»7«/mn»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨»!«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»7«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»6«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»5«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»5«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»040«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

a.
There are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math» letters in the word, and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» of those letters are the letter o.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»6«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»!«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»!«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»720«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»360«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

b.
There are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»7«/mn»«/mstyle»«/math» letters in the word, and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» of those letters are the letter d. Also, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» of those letters are the letter e.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»7«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»!«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»!«/mi»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»!«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»040«/mn»«/mrow»«mn»12«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»420«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»=«/mo»«mn»24«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» ways
d.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mmultiscripts»«mi»P«/mi»«mi»r«/mi»«none/»«mprescripts/»«mi»n«/mi»«none/»«/mmultiscripts»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»n«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»!«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»r«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»!«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mfenced»«mmultiscripts»«mi»P«/mi»«mn»2«/mn»«none/»«mprescripts/»«mi»n«/mi»«none/»«/mmultiscripts»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»60«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»n«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»!«/mi»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨»!«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»60«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»n«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»!«/mi»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨»!«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»30«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mfenced»«mi»n«/mi»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mfenced»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨»!«/mi»«/menclose»«/mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mfenced»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨»!«/mi»«/menclose»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»30«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfenced»«mi»n«/mi»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»30«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»n«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»30«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»n«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»30«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left center right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»n«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»o«/mi»«mi»r«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»n«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd»«mi»n«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

The value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»n«/mi»«/mstyle»«/math» must be a natural number. Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
b.
You must move up «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» units and right «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» units. Altogether, you must move «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»7«/mn»«/mstyle»«/math» units.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»7«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»!«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»!«/mi»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»!«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»35«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
a.
There are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» ways to select the boy for the first position.

There are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» ways to select the girl in the second position.

There are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» ways to select the girl in the third position.

There are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» ways to select the girl in the fourth position.

There is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» way to select the girl in the fifth position.

There is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» way to select the boy in the end position.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»=«/mo»«mn»48«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»

b.
There are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»!«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» ways to arrange the two boys in their own group.

Consider the boys to be one object because they must stay together. There are four girls and one group of boys, so there are five objects to arrange.

There are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»!«/mi»«/mstyle»«/math» ways to arrange four girls and one group of boys.

Total number of ways to arrange one group of two boys and four girls

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»!«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»!«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«mn»240«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

c.
There are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» ways to select the girl in the first position.

There are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» ways to select the girl in the second position.

There is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» way to select the boys in the third and fourth position, and there are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» ways to arrange the two boys.

There are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» ways to select the girl in the fifth position.

There is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» way to select the girl in the last position.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»=«/mo»«mn»48«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
There are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»26«/mn»«/mstyle»«/math» letters in the alphabet, but O is not used; therefore, the first position of the code can be selected in «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»25«/mn»«/mstyle»«/math» ways.

The second position is a digit that can be selected from «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math» choices.

The third position is a digit that can be selected from «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»9«/mn»«/mstyle»«/math» choices.

The fourth position is a digit that can be selected from «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»8«/mn»«/mstyle»«/math» choices.

Number of possible codes: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»25«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»10«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»9«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»8«/mn»«mo»=«/mo»«mn»18«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»000«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». There are not enough codes for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»25«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»300«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» members.
a.
The numerator indicates the total number of letters to be used.

There will be «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math» letters.

The denominator indicates the number of letters that will repeat and how many times each repeats.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»!«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» means one letter appears twice.

The second «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»!«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» means another letter repeats twice.

AABBC is one possible answer.

b.
TEETH is one possible answer.