Unit 6

Permutations, Combinations, and The Binomial Theorem

Investigation

Expanding binomial powers can be a tedious task, but it has useful applications in advanced math.

  1. Expand these binomial powers.

    a.  «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math»
    b.  «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math»
    c.  «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math»

  1. The next three expansions of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»n«/mi»«/msup»«/mstyle»«/math» are shown.

    «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi»y«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»6«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»6«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»15«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»20«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»15«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi»y«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»6«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»7«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»7«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»6«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»21«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»35«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»35«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»21«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi»y«/mi»«mn»6«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»7«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

    a.  Use patterns to predict the expansion of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»8«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math».
    b.  Can you use the same strategy you used in 2a. to expand «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»63«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math»?
    c.  Predict the first «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» terms in the expansion of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»63«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math».


  1. a. «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
    b. «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
    c. «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»

  1. a. «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»8«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»7«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»28«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»6«/mn»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»56«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»70«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»56«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»28«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mn»6«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi»y«/mi»«mn»7«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»8«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
    b. Responses will vary.
    c. «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»63«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»63«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»62«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»953«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»61«/mn»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»39«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»711«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»60«/mn»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
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