L6.2 A2 Binomial Expansion - Part 1
Completion requirements
Unit 6
Permutations, Combinations, and The Binomial Theorem
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Part 6.2A corresponds to section 11.3, starting on page 537 of your Pre-Calculus 12 textbook.
Recall a binomial has two terms that cannot be combined as like terms. «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» is a binomial.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»n«/mi»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»n«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»N«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is a binomial of degree «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»n«/mi»«/mstyle»«/math».
The binomial expansion of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»n«/mi»«/msup»«/mstyle»«/math» means the binomial is multiplied by itself «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»n«/mi»«/mstyle»«/math» times.
For example, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» expands to
When a binomial is raised to a power of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math», or even «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math», the process of expansion is not too difficult. However, if the binomial is raised to a larger power such as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math» or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math», or even «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»20«/mn»«/mstyle»«/math», the expansion becomes much more complicated, and there are many opportunities for errors.
When «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», row «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» of the triangle contains the value of the expansion of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»0«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math».
When «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»n«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math», row «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» of the triangle contains the values that match the coefficients of the expansion of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»1«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math».
When «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»n«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math», row «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» of the triangle contains the values that match the coefficients of the expansion of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math».
The expansion of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»n«/mi»«/msup»«/mstyle»«/math» has coefficients for its terms that correspond to the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»th«/mi»«/msup»«/mstyle»«/math» row of Pascal’s triangle.
For example, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» has coefficients for its terms that match the numbers in the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mn»5«/mn»«mi»th«/mi»«/msup»«/mstyle»«/math» row of Pascal’s triangle.
The fifth row of the triangle contains the values «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»4«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»6«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»4«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
The expansion of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» is
Note: The exponents on the variables in each term add to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math», which is the value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»n«/mi»«/mstyle»«/math».
Also, note as the exponent on the first variable decreases by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» in each successive term, the exponent on the second variable increases by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»n«/mi»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»n«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»N«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is a binomial of degree «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»n«/mi»«/mstyle»«/math».
The binomial expansion of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»n«/mi»«/msup»«/mstyle»«/math» means the binomial is multiplied by itself «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»n«/mi»«/mstyle»«/math» times.
For example, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» expands to
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
When a binomial is raised to a power of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math», or even «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math», the process of expansion is not too difficult. However, if the binomial is raised to a larger power such as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math» or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math», or even «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»20«/mn»«/mstyle»«/math», the expansion becomes much more complicated, and there are many opportunities for errors.
Pascal’s Triangle and Binomial Expansion
The first seven rows of Pascal’s triangle are shown.
What patterns can you find in the triangle?
The values in the rows of Pascal’s triangle correspond to the coefficients of each term of a binomial expansion.
What patterns can you find in the triangle?
The values in the rows of Pascal’s triangle correspond to the coefficients of each term of a binomial expansion.
| Binomial | A Binomial Expansion using Pascal’s Triangle |
Row |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»0«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»1«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mo»+«/mo»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»1«/mn»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mo»+«/mo»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mo»+«/mo»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»1«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mo»+«/mo»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mo»+«/mo»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mo»+«/mo»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»1«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mo»+«/mo»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mo»+«/mo»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»6«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mo»+«/mo»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mo»+«/mo»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»1«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math» |
When «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», row «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» of the triangle contains the value of the expansion of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»0«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math».
When «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»n«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math», row «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» of the triangle contains the values that match the coefficients of the expansion of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»1«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math».
When «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»n«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math», row «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» of the triangle contains the values that match the coefficients of the expansion of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math».
The expansion of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»n«/mi»«/msup»«/mstyle»«/math» has coefficients for its terms that correspond to the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»th«/mi»«/msup»«/mstyle»«/math» row of Pascal’s triangle.
For example, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» has coefficients for its terms that match the numbers in the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mn»5«/mn»«mi»th«/mi»«/msup»«/mstyle»«/math» row of Pascal’s triangle.
The fifth row of the triangle contains the values «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»4«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»6«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»4«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
The expansion of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» is
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mn»0«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»0«/mn»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Note: The exponents on the variables in each term add to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math», which is the value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»n«/mi»«/mstyle»«/math».
Also, note as the exponent on the first variable decreases by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» in each successive term, the exponent on the second variable increases by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».
Expand «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»c«/mi»«mo»+«/mo»«mi»d«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»c«/mi»«mo»+«/mo»«mi»d«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» has coefficients on its terms that correspond to the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mn»6«/mn»«mi»th«/mi»«/msup»«/mstyle»«/math» row of Pascal’s triangle.
The coefficients are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»5«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»10«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»10«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»5«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
The expansion is
The coefficients are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»5«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»10«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»10«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»5«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
The expansion is
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»c«/mi»«mo»+«/mo»«mi»d«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«msup»«mfenced»«mi»c«/mi»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mi»d«/mi»«/mfenced»«mn»0«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mfenced»«mi»c«/mi»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mi»d«/mi»«/mfenced»«mn»1«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«msup»«mfenced»«mi»c«/mi»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mi»d«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«msup»«mfenced»«mi»c«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mi»d«/mi»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mfenced»«mi»c«/mi»«/mfenced»«mn»1«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mi»d«/mi»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mfenced»«mi»c«/mi»«/mfenced»«mn»0«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mi»d«/mi»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»c«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»c«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mi»d«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«msup»«mi»c«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«msup»«mi»c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»d«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«mi»c«/mi»«msup»«mi»d«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»d«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»