L6.2 A2 Binomial Expansion - Part 3
Completion requirements
Unit 6
Permutations, Combinations, and The Binomial Theorem
The Binomial Theorem
The binomial theorem is used to expand binomials raised to any power «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»n«/mi»«/mstyle»«/math», where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»n«/mi»«/mstyle»«/math» is a natural number. It is based on the use of combinations in place of the values in Pascal’s triangle.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»n«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«mmultiscripts»«mi»C«/mi»«mn»0«/mn»«none/»«mprescripts/»«mi»n«/mi»«none/»«/mmultiscripts»«msup»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mi»n«/mi»«/msup»«msup»«mfenced»«mi»y«/mi»«/mfenced»«mn»0«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mmultiscripts»«mi»C«/mi»«mn»1«/mn»«none/»«mprescripts/»«mi»n«/mi»«none/»«/mmultiscripts»«msup»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«msup»«mfenced»«mi»y«/mi»«/mfenced»«mn»1«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mmultiscripts»«mi»C«/mi»«mn»2«/mn»«none/»«mprescripts/»«mi»n«/mi»«none/»«/mmultiscripts»«msup»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«msup»«mfenced»«mi»y«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mo»§#8230;«/mo»«mo»+«/mo»«mmultiscripts»«mi»C«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«none/»«mprescripts/»«mi»n«/mi»«none/»«/mmultiscripts»«msup»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mn»1«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mi»y«/mi»«/mfenced»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mmultiscripts»«mi»C«/mi»«mi»n«/mi»«none/»«mprescripts/»«mi»n«/mi»«none/»«/mmultiscripts»«msup»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mn»0«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mi»y«/mi»«/mfenced»«mi»n«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
What is the fourth term in the expansion of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»a«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»8«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math», if the polynomial is written in descending order by degree of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»a«/mi»«/mstyle»«/math»?
The expansion of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»a«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»8«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» can be done using the binomial theorem. The expansion corresponds to the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mn»9«/mn»«mi»th«/mi»«/msup»«/mstyle»«/math» row of the triangle, or the row starting with «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mmultiscripts»«mi»C«/mi»«mn»0«/mn»«none/»«mprescripts/»«mn»8«/mn»«none/»«/mmultiscripts»«/mstyle»«/math». The terms have coefficients that correspond to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mmultiscripts»«mi»C«/mi»«mn»0«/mn»«none/»«mprescripts/»«mn»8«/mn»«none/»«/mmultiscripts»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mmultiscripts»«mi»C«/mi»«mn»1«/mn»«none/»«mprescripts/»«mn»8«/mn»«none/»«/mmultiscripts»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mmultiscripts»«mi»C«/mi»«mn»2«/mn»«none/»«mprescripts/»«mn»8«/mn»«none/»«/mmultiscripts»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mmultiscripts»«mi»C«/mi»«mn»3«/mn»«none/»«mprescripts/»«mn»8«/mn»«none/»«/mmultiscripts»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mmultiscripts»«mi»C«/mi»«mn»4«/mn»«none/»«mprescripts/»«mn»8«/mn»«none/»«/mmultiscripts»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mmultiscripts»«mi»C«/mi»«mn»5«/mn»«none/»«mprescripts/»«mn»8«/mn»«none/»«/mmultiscripts»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mmultiscripts»«mi»C«/mi»«mn»6«/mn»«none/»«mprescripts/»«mn»8«/mn»«none/»«/mmultiscripts»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mmultiscripts»«mi»C«/mi»«mn»7«/mn»«none/»«mprescripts/»«mn»8«/mn»«none/»«/mmultiscripts»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»and«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mmultiscripts»«mi»C«/mi»«mn»8«/mn»«none/»«mprescripts/»«mn»8«/mn»«none/»«/mmultiscripts»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The fourth term is multiplied by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mmultiscripts»«mi»C«/mi»«mn»3«/mn»«none/»«mprescripts/»«mn»8«/mn»«none/»«/mmultiscripts»«/mstyle»«/math».
Also, the fourth term contains «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The fourth term is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mmultiscripts»«mi»C«/mi»«mn»3«/mn»«none/»«mprescripts/»«mn»8«/mn»«none/»«/mmultiscripts»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»56«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»976«/mn»«msup»«mi»a«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»614«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»656«/mn»«msup»«mi»a«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The fourth term is multiplied by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mmultiscripts»«mi»C«/mi»«mn»3«/mn»«none/»«mprescripts/»«mn»8«/mn»«none/»«/mmultiscripts»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mmultiscripts»«mi»C«/mi»«mn»3«/mn»«none/»«mprescripts/»«mn»8«/mn»«none/»«/mmultiscripts»«mo»=«/mo»«mn»56«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Also, the fourth term contains «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»32«/mn»«msup»«mi»a«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»343«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»976«/mn»«msup»«mi»a«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The fourth term is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mmultiscripts»«mi»C«/mi»«mn»3«/mn»«none/»«mprescripts/»«mn»8«/mn»«none/»«/mmultiscripts»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»56«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»976«/mn»«msup»«mi»a«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»614«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»656«/mn»«msup»«mi»a«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mrow»«/mstyle»«/math».