L6.2 A2 Binomial Expansion - Part 4
Completion requirements
Unit 6
Permutations, Combinations, and The Binomial Theorem
Sometimes writing out a section of the binomial expansion is long, and you want to focus on a specific term. In the expansion of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»n«/mi»«/msup»«/mstyle»«/math», the general term is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»t«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»=«/mo»«mmultiscripts»«mi»C«/mi»«mi»k«/mi»«none/»«mprescripts/»«mi»n«/mi»«none/»«/mmultiscripts»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mi»k«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Determine the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mn»28«/mn»«mi»th«/mi»«/msup»«/mstyle»«/math» term of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mi»p«/mi»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«msup»«mi»q«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mn»31«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» if the expansion is written in descending order by degree of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»p«/mi»«/mstyle»«/math».
It may help to start with a table of values. Once you are comfortable, you will only need to write one line of the table. Notice «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»k«/mi»«/mstyle»«/math» is always «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» less than the term number, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»n«/mi»«/mstyle»«/math» is always equal to the exponent on the binomial, and there are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» terms.
Now, use the line of interest in the general term formula.
| Term | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»k«/mi»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»n«/mi»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math» |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»31«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»31«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»31«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#8230;«/mo»«/mstyle»«/math» | ||
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»28«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»27«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»31«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#8230;«/mo»«/mstyle»«/math» | ||
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»32«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»31«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»31«/mn»«/mstyle»«/math» |
Now, use the line of interest in the general term formula.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msub»«mi»t«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mmultiscripts»«mi»C«/mi»«mi»k«/mi»«none/»«mprescripts/»«mi»n«/mi»«none/»«/mmultiscripts»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mi»k«/mi»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»t«/mi»«mrow»«mn»27«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mmultiscripts»«mi»C«/mi»«mn»27«/mn»«none/»«mprescripts/»«mn»31«/mn»«none/»«/mmultiscripts»«msup»«mfenced»«mfrac»«mi»p«/mi»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mrow»«mn»31«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»27«/mn»«/mrow»«/msup»«msup»«mfenced»«msup»«mi»q«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«mn»27«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»t«/mi»«mn»28«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»31«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»465«/mn»«msup»«mfenced»«mfrac»«mi»p«/mi»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«msup»«mi»q«/mi»«mn»54«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»31«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»465«/mn»«mfenced»«mfrac»«msup»«mi»p«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«msup»«mn»2«/mn»«mn»4«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mfenced»«msup»«mi»q«/mi»«mn»54«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»31«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»465«/mn»«mfenced»«mfrac»«msup»«mi»p«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mn»16«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«msup»«mi»q«/mi»«mn»54«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»31«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»465«/mn»«/mrow»«mn»16«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»p«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«msup»«mi»q«/mi»«mn»54«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»