L7.1 A3 Practice Solutions
Completion requirements
Unit 7
Units 1 to 6 Review
Practice Solutions
Practice 7.1A Solutions
Use these solutions to correct your work. When finished, give yourself a grade using the Practice Assessment rubric.Page 102, questions 1 to 3 and 12; page 155, questions 1 to 4, 6a, and 7c; page 470, questions 1, 2, 5, 6, 10a, and 10b; pages 368 to 369, questions 1, 3, 5, and 10a.
B
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Try the point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» to see if it satisfies the function.
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», then
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The point is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math», which is response B.
A
The equation can be rewritten as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msqrt»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercepts of the graph of the corresponding function, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», will be equal to the roots of the equation.
A
The domain is restricted by the fact the value under the square root sign must be greater than or equal to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math».
Response A:
Domain: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mtable columnalign=¨right¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Because the domain is restricted, the range is restricted.
Permissible values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» can be used to determine the range.
Use «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math».
When «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
When «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».
Range: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Response A:
Domain: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mtable columnalign=¨right¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Because the domain is restricted, the range is restricted.
Permissible values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» can be used to determine the range.
Use «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math».
When «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
When «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».
Range: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Isolate the root sign.
Square both sides of the equation.
Arrange the equation so one side is equal to zero, and then solve for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» by using the quadratic formula.
Use substitution to check the solutions.
The left side does not equal the right side, so «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mo».«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is extraneous.
The left side is approximately equal to the right side, so «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»6«/mn»«mo».«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is an approximate solution.
Graphically solve the equation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» by graphing the functions on either side of the equation and finding the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinate of the point of intersection of the two graphs.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Square both sides of the equation.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»16«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Arrange the equation so one side is equal to zero, and then solve for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» by using the quadratic formula.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»15«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»b«/mi»«mo»§#177;«/mo»«msqrt»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»a«/mi»«mi»c«/mi»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»9«/mn»«mo»§#177;«/mo»«msqrt»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mfenced»«mn»15«/mn»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»9«/mn»«mo»§#177;«/mo»«msqrt»«mn»21«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»§#8784;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»2«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»or«/mi»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»6«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»8«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Use substitution to check the solutions.
| Left Side | Right Side |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»15«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«msup»«mn»2«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»15«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8784;«/mo»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»04«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math» |
The left side does not equal the right side, so «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mo».«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is extraneous.
| Left Side | Right Side |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»15«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»6«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«msup»«mn»8«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»6«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»8«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»15«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8784;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math» |
The left side is approximately equal to the right side, so «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»6«/mn»«mo».«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is an approximate solution.
Graphically solve the equation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» by graphing the functions on either side of the equation and finding the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinate of the point of intersection of the two graphs.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
C
Consider the end behaviour of functions that have odd degrees. The graphs of odd degree functions must cross the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-axis unless a domain restriction exists.
B
When the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» is divided by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», the remainder is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math», which indicates «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is a factor.
Using the Remainder Theorem, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». So, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is a factor, by the Factor Theorem.
Using the Remainder Theorem, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». So, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is a factor, by the Factor Theorem.
D
Consider the constant term of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»12«/mn»«/mstyle»«/math». The possible zeros are the integral factors of the constant term.
B
Use «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» in the polynomial.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»18«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»16«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»20«/mn»«mo»+«/mo»«mn»18«/mn»«mo»+«/mo»«mn»18«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»36«/mn»«mo»+«/mo»«mn»36«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»18«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»16«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»20«/mn»«mo»+«/mo»«mn»18«/mn»«mo»+«/mo»«mn»18«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»36«/mn»«mo»+«/mo»«mn»36«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math»
The real roots are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
The real roots are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math».
First factor a common «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» from each term.
Then, factor the trinomial.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Then, factor the trinomial.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
C
The factor «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» shows up in the denominator, but not in the numerator, so there will be a vertical asymptote at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math».
D
By factoring, the non-permissible values of the function can be determined.
There is a vertical asymptote at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and a point of discontinuity at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math», which can be shown as an open circle on the graph.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/menclose»«/mrow»«mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/menclose»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»x«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
There is a vertical asymptote at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and a point of discontinuity at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math», which can be shown as an open circle on the graph.
C
Factor the equation of the function.
There is a point of discontinuity at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and a vertical asymptote at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».
The value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» has no «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-value in this function, but by examining the graph of the function, you see that as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»x«/mi»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»x«/mi»«/menclose»«mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»x«/mi»«/menclose»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
There is a point of discontinuity at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and a vertical asymptote at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».
The value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» has no «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-value in this function, but by examining the graph of the function, you see that as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
a.
b.
As «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» approaches «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» from either direction, the function approaches «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math». But, because «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» is a non-permissible value, the graph contains a point of discontinuity at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
B
Any base raised to the power of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math» will result in «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».
B
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» current value
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»P«/mi»«mo»=«/mo»«/mstyle»«/math» previous value of the car
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«/mstyle»«/math» time passed
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»d«/mi»«mo»=«/mo»«/mstyle»«/math» doubling time
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»P«/mi»«mo»=«/mo»«/mstyle»«/math» previous value of the car
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«/mstyle»«/math» time passed
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»d«/mi»«mo»=«/mo»«/mstyle»«/math» doubling time
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»P«/mi»«msup»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mfrac»«mi»t«/mi»«mi»d«/mi»«/mfrac»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»100«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»000«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»P«/mi»«msup»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mfrac»«mn»20«/mn»«mn»10«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»100«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»000«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»P«/mi»«msup»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»100«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»000«/mn»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»P«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»25«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»000«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»P«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
D
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»25«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»%«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» of the light is blocked, then «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»75«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»%«/mi»«/mstyle»«/math» of the light passes through.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»75«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»%«/mi»«/mstyle»«/math» of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msub»«mi»I«/mi»«mi»o«/mi»«/msub»«/mstyle»«/math» makes it through the lens.
Graph the functions on either side of the equation, and find the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinate of the point of intersection of the two graphs.
The graphs intersect at approximately «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». The glass should be approximately «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»3«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»mm«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» thick.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»75«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»%«/mi»«/mstyle»«/math» of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msub»«mi»I«/mi»«mi»o«/mi»«/msub»«/mstyle»«/math» makes it through the lens.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»75«/mn»«msub»«mi»I«/mi»«mi»o«/mi»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»I«/mi»«mi»o«/mi»«/msub»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»8«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»x«/mi»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»75«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«msup»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Graph the functions on either side of the equation, and find the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinate of the point of intersection of the two graphs.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»75«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«msup»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The graphs intersect at approximately «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». The glass should be approximately «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»3«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»mm«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» thick.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»
is approximately «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»9«/mn»«mo».«/mo»«mn»7«/mn»«/mstyle»«/math».
Graph «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«msup»«mn»12«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math», and determine the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinate of the intersection point.
Graph «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«msup»«mn»12«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math», and determine the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinate of the intersection point.