L2 Types of Triangles - Part 2
Completion requirements
Unit A: Geometry
Chapter 1: Polygons
Use the Triangle applet to explore the six different types of triangles.
Prove that all the angles in an equilateral triangle are 60°.
In an equilateral triangle, not only are all sides equal, but all angles are equal as well. Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «mo»=«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»B«/mi» «mo»=«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»C«/mi» «/math».
Using the sum of the angles in a triangle formula, you can solve to find an angle.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨» «mtr» «mtd» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «mo»+«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»B«/mi» «mo»+«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»C«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»180«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «mo»+«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «mo»+«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»180«/mn» «mo»§#176;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mi»Substitute«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mi»for«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mi»both«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»B«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mi»and«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»C«/mi» «mo».«/mo» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mn»3«/mn» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»180«/mn» «mo»§#176;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mi»Simplify«/mi» «mo».«/mo» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mfrac» «mrow» «mn»3«/mn» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «/mrow» «mn»3«/mn» «/mfrac» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mfrac» «mrow» «mn»180«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mrow» «mn»3«/mn» «/mfrac» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mi»Divide«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mi»by«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mn»3«/mn» «mo»§#160;«/mo» «mi»on«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mi»both«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mi»sides«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mi»to«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mi»find«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «mo».«/mo» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»60«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mtd» «/mtr» «/mtable» «/math»
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle indentalign=¨left¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «mo»=«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»B«/mi» «mo»=«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»C«/mi» «mo»=«/mo» «mfrac» «mrow» «mn»180«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mrow» «mn»3«/mn» «/mfrac» «mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»=«/mo» «mn»60«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mstyle» «/math»
Alternate Solution:
All three angles must have the same measure.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle indentalign=¨right¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «mo»=«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»B«/mi» «mo»=«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»C«/mi» «mo»=«/mo» «mfrac» «mrow» «mn»180«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mrow» «mn»3«/mn» «/mfrac» «mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»=«/mo» «mn»60«/mn» «mo»§#176;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «/mstyle» «/math»
In an equilateral triangle, not only are all sides equal, but all angles are equal as well. Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «mo»=«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»B«/mi» «mo»=«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»C«/mi» «/math».
Using the sum of the angles in a triangle formula, you can solve to find an angle.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨» «mtr» «mtd» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «mo»+«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»B«/mi» «mo»+«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»C«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»180«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «mo»+«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «mo»+«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»180«/mn» «mo»§#176;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mi»Substitute«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mi»for«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mi»both«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»B«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mi»and«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»C«/mi» «mo».«/mo» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mn»3«/mn» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»180«/mn» «mo»§#176;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mi»Simplify«/mi» «mo».«/mo» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mfrac» «mrow» «mn»3«/mn» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «/mrow» «mn»3«/mn» «/mfrac» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mfrac» «mrow» «mn»180«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mrow» «mn»3«/mn» «/mfrac» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mi»Divide«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mi»by«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mn»3«/mn» «mo»§#160;«/mo» «mi»on«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mi»both«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mi»sides«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mi»to«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mi»find«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «mo».«/mo» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»60«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mtd» «/mtr» «/mtable» «/math»
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle indentalign=¨left¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «mo»=«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»B«/mi» «mo»=«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»C«/mi» «mo»=«/mo» «mfrac» «mrow» «mn»180«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mrow» «mn»3«/mn» «/mfrac» «mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»=«/mo» «mn»60«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mstyle» «/math»
Alternate Solution:
All three angles must have the same measure.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle indentalign=¨right¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «mo»=«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»B«/mi» «mo»=«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»C«/mi» «mo»=«/mo» «mfrac» «mrow» «mn»180«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mrow» «mn»3«/mn» «/mfrac» «mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»=«/mo» «mn»60«/mn» «mo»§#176;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «/mstyle» «/math»
Determine
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mo»§#8736;«/mo»
«mi»D«/mi»
«/math» and
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mo»§#8736;«/mo»
«mi»E«/mi»
«/math» in the following isosceles triangle.
Since the triangle is isosceles,
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mo»§#8736;«/mo»
«mi»D«/mi»
«mo»=«/mo»
«mo»§#8736;«/mo»
«mi»E«/mi»
«/math».
Using the sum of angles in a triangle formula, substitute the known angle, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»F«/mi» «mo»=«/mo» «mn»25«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/math» as well as «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»D«/mi» «/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»E«/mi» «/math». Solve for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»D«/mi» «/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨» «mtr» «mtd» «mo»§#8736;«/mo» «mi»D«/mi» «mo»+«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»E«/mi» «mo»+«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»F«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»180«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mo»§#8736;«/mo» «mi»D«/mi» «mo»+«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»D«/mi» «mo»+«/mo» «mn»25«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»180«/mn» «mo»§#176;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mi»Substitute«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mn»25«/mn» «mo»§#176;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mi»for«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»F«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mi»and«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»E«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mi»for«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»D«/mi» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mn»2«/mn» «mo»§#8736;«/mo» «mi»D«/mi» «mo»+«/mo» «mn»25«/mn» «mo»§#176;«/mo» «mo»-«/mo» «mn»25«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»180«/mn» «mo»§#176;«/mo» «mo»-«/mo» «mn»25«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mfrac» «mrow» «mn»2«/mn» «mo»§#8736;«/mo» «mi»D«/mi» «/mrow» «mn»2«/mn» «/mfrac» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mfrac» «mrow» «mn»155«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mrow» «mn»2«/mn» «/mfrac» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mo»§#8736;«/mo» «mi»D«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»77«/mn» «mo».«/mo» «mn»5«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mtd» «/mtr» «/mtable» «/math»
Alternate Solution:
All three angles add up to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mn»180«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/math» where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»F«/mi» «mo»=«/mo» «mn»25«/mn» «mo»§#176;«/mo» «mo»,«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mn»180«/mn» «mo»§#176;«/mo» «mo»-«/mo» «mn»25«/mn» «mo»§#176;«/mo» «mo»=«/mo» «mn»155«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/math». There is 155° left for the remaining two angles, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mfrac» «mrow» «mn»155«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mrow» «mn»2«/mn» «/mfrac» «mo»=«/mo» «mn»77«/mn» «mo».«/mo» «mn»5«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/math».
Using the sum of angles in a triangle formula, substitute the known angle, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»F«/mi» «mo»=«/mo» «mn»25«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/math» as well as «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»D«/mi» «/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»E«/mi» «/math». Solve for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»D«/mi» «/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨» «mtr» «mtd» «mo»§#8736;«/mo» «mi»D«/mi» «mo»+«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»E«/mi» «mo»+«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»F«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»180«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mo»§#8736;«/mo» «mi»D«/mi» «mo»+«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»D«/mi» «mo»+«/mo» «mn»25«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»180«/mn» «mo»§#176;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mi»Substitute«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mn»25«/mn» «mo»§#176;«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mi»for«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»F«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mi»and«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»E«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mi»for«/mi» «mo»§#160;«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»D«/mi» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mn»2«/mn» «mo»§#8736;«/mo» «mi»D«/mi» «mo»+«/mo» «mn»25«/mn» «mo»§#176;«/mo» «mo»-«/mo» «mn»25«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»180«/mn» «mo»§#176;«/mo» «mo»-«/mo» «mn»25«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mfrac» «mrow» «mn»2«/mn» «mo»§#8736;«/mo» «mi»D«/mi» «/mrow» «mn»2«/mn» «/mfrac» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mfrac» «mrow» «mn»155«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mrow» «mn»2«/mn» «/mfrac» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mo»§#8736;«/mo» «mi»D«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»77«/mn» «mo».«/mo» «mn»5«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mtd» «/mtr» «/mtable» «/math»
Alternate Solution:
All three angles add up to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mn»180«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/math» where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»F«/mi» «mo»=«/mo» «mn»25«/mn» «mo»§#176;«/mo» «mo»,«/mo» «mo»§#160;«/mo» «mn»180«/mn» «mo»§#176;«/mo» «mo»-«/mo» «mn»25«/mn» «mo»§#176;«/mo» «mo»=«/mo» «mn»155«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/math». There is 155° left for the remaining two angles, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mfrac» «mrow» «mn»155«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mrow» «mn»2«/mn» «/mfrac» «mo»=«/mo» «mn»77«/mn» «mo».«/mo» «mn»5«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/math».