Unit A: Geometry

Chapter 1: Polygons

Squares, Rectangles, and Trapezoids

The properties of squares, rectangles, and trapezoids are below.

Squares
  • All sides are equal in length.
  • All interior angles are 90°.
  • Both diagonal angles are equal in length.
  • All diagonal angles are 90°.
  • Both sets of opposite sides are parallel.
Rectangles
  • Opposite sides are equal in length.
  • All interior angles are 90°.
  • Both diagonals are equal in length.
  • Opposite diagonal angles are equal.
  • Both sets of opposite sides are parallel.
Trapezoids
  • At most, two sides are equal in length.
  • Interior angles are not equal.
  • Diagonals are generally not equal in length (except for isosceles trapezoids).
  • Opposite diagonal angles are equal.
  • One set of opposite sides is parallel.
Isosceles Trapezoid
  • Opposite, non-parallel sides are equal in length.
  • Top interior angles are equal.
  • Bottom interior angles are equal.
  • Top and bottom interior angles add to 180°.
  • Diagonals are equal in length.
  • Opposite diagonal angles are equal.
  • One set of opposite sides is parallel.

 
Based on the properties of a rectangle, determine the missing measurements in the quadrilateral below.
  1. AD = ___ m
  2. AC = ___ m
  3. BE = ___ m
  4. «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «mo»=«/mo» «mi»_«/mi» «mi»_«/mi» «mi»_«/mi» «mi»_«/mi» «mo»§#176;«/mo» «/math»

 
 

a.
AD is parallel to BC, so AD = BC.
AD = 12 m

b.
The length of AE is half of AC, so the length of AC would be 
AC = 2(3.6 m)
AC = 7.2 m

c.
AE = DE = BE = AD so BE = 3.6 m.

d.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «mo»=«/mo» «mn»90«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/math». All angles in a rectangle are 90°.
In NHL hockey, goalies are allowed to handle the puck behind the goal line only in a trapezoidal region called the goalkeeper's restricted area. The base of the trapezoid is 28 feet long and the top of the trapezoid is 18 feet long. The goal line is 11 feet from the boards.


 

Find all the angles in the restricted area as well as side length x.

This is an isosceles trapezoid because the two opposite, non-parallel lines are the same length and the other two sides are parallel. As a result, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»B«/mi» «mo»=«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»C«/mi» «/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «mo»=«/mo» «mn»115«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/math». The interior angles in a quadrilateral add to 360°, so

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨» «mtr» «mtd» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «mo»+«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»B«/mi» «mo»+«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»C«/mi» «mo»+«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»D«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»360«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mn»115«/mn» «mo»§#176;«/mo» «mo»+«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»B«/mi» «mo»+«/mo» «mo»§#8736;«/mo» «mi»B«/mi» «mo»+«/mo» «mn»115«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»360«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mn»2«/mn» «mo»§#8736;«/mo» «mi»B«/mi» «mo»+«/mo» «mn»230«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»360«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mn»2«/mn» «mo»§#8736;«/mo» «mi»B«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»130«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mo»§#8736;«/mo» «mi»B«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mfrac» «mrow» «mn»130«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mrow» «mn»2«/mn» «/mfrac» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mo»§#8736;«/mo» «mi»B«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»65«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mtd» «/mtr» «/mtable» «/math»

Since the trapezoid is isosceles, the side length is x = 15 feet.