L2 Finding the Third Side Length
Completion requirements
Unit A: Geometry
Chapter 3: Trigonometry
Finding the Third Side Length Using The Cosine Law
When using the cosine law, each angle is matched up with its opposite side, which is called a matching pair.
The pairs in any triangle are
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «/math» and side a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»B«/mi» «/math» and side b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»C«/mi» «/math» and side c.
The cosine law can be used to find a side length when a given angle is between two known sides.
In ΔABC, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»C«/mi» «/math»is between sides a and b.
The pairs in any triangle are
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «/math» and side a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»B«/mi» «/math» and side b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»C«/mi» «/math» and side c.
The cosine law can be used to find a side length when a given angle is between two known sides.
In ΔABC, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»C«/mi» «/math»is between sides a and b.
| The length of a side can be calculated using the cosine law.
a2 = b2 + c2 – 2bccosA (used to find side a given «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «/math» and sides b and c) b2 = a2 + c2 – 2accosB (used to find side b given «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»B«/mi» «/math» and sides a and b) c2 = a2 + b2 – 2abcosC (used to find side c given «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»C«/mi» «/math» and sides a and c) These three versions are identical. However, one may be easier to use than another depending on how a given triangle is labelled. Notice that the side represented on the left side of the cosine law and the angle used on the right side are opposite one another in the triangle (they make a matching pair). |
Recall: The side and angle opposite each other are given the same letter. Sides are given the lowercase letter, and angles are given the uppercase letter. For example, side a is opposite «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «/math». |
Find side length BC to the nearest tenth using the cosine law.
Label ΔABC.
The given information in ΔABC is
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨» «mtr» «mtd» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»82«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mi»b«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»37«/mn» «mo»§#160;«/mo» «mi»cm«/mi» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mi»c«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»61«/mn» «mo»§#160;«/mo» «mi»cm«/mi» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mi»a«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mi»B«/mi» «mi»C«/mi» «/mtd» «/mtr» «/mtable» «/math»
Substitute these values into the cosine law to find the length of side a.
The length of side BC to the nearest tenth is 66.8 cm.
The given information in ΔABC is
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨» «mtr» «mtd» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»82«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mi»b«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»37«/mn» «mo»§#160;«/mo» «mi»cm«/mi» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mi»c«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»61«/mn» «mo»§#160;«/mo» «mi»cm«/mi» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mi»a«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mi»B«/mi» «mi»C«/mi» «/mtd» «/mtr» «/mtable» «/math»
Substitute these values into the cosine law to find the length of side a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨»
«mtr»
«mtd»
«msup»
«mi»a«/mi»
«mn»2«/mn»
«/msup»
«/mtd»
«mtd»
«mo»=«/mo»
«/mtd»
«mtd»
«msup»
«mi»b«/mi»
«mn»2«/mn»
«/msup»
«mo»+«/mo»
«msup»
«mi»c«/mi»
«mn»2«/mn»
«/msup»
«mo»-«/mo»
«mn»2«/mn»
«mi»b«/mi»
«mi»c«/mi»
«mi»cos«/mi»
«mi»A«/mi»
«/mtd»
«/mtr»
«mtr»
«mtd»
«msup»
«mi»a«/mi»
«mn»2«/mn»
«/msup»
«/mtd»
«mtd»
«mo»=«/mo»
«/mtd»
«mtd»
«msup»
«mn»37«/mn»
«mn»2«/mn»
«/msup»
«mo»+«/mo»
«msup»
«mn»61«/mn»
«mn»2«/mn»
«/msup»
«mo»-«/mo»
«mn»2«/mn»
«mfenced»
«mn»37«/mn»
«/mfenced»
«mfenced»
«mn»61«/mn»
«/mfenced»
«mi»cos«/mi»
«mfenced»
«mrow»
«mn»82«/mn»
«mo»§#176;«/mo»
«/mrow»
«/mfenced»
«/mtd»
«/mtr»
«mtr»
«mtd»«/mtd»
«mtd»
«mo»=«/mo»
«/mtd»
«mtd»
«mn»4461«/mn»
«mo».«/mo»
«mn»772622«/mn»
«/mtd»
«/mtr»
«mtr»
«mtd»
«mi»a«/mi»
«/mtd»
«mtd»
«mo»=«/mo»
«/mtd»
«mtd»
«msqrt»
«mn»4461«/mn»
«mo».«/mo»
«mn»772622«/mn»
«/msqrt»
«/mtd»
«/mtr»
«mtr»
«mtd»«/mtd»
«mtd»
«mo»=«/mo»
«/mtd»
«mtd»
«mn»66«/mn»
«mo».«/mo»
«mn»8«/mn»
«/mtd»
«/mtr»
«/mtable»
«/math»
Note: To calculate a2 = 372 + 612 – 2(37)(61)cos(82°) on your calculator, do either of the following based on how your calculator works.
Method 1: 372
612
2
37
61
(82)
Method 2: 372 612
2
37
61
82
Recall: Determine the square root of both sides to find side a. Do this by pressing the square root button (
) on the calculator.
Method 1: 372
612
2
37
61
(82)
Method 2: 372
612
2
37
61
82
Recall: Determine the square root of both sides to find side a. Do this by pressing the square root button (
) on the calculator.The length of side BC to the nearest tenth is 66.8 cm.
Find side length AC using the cosine law. Express the answer to one decimal place.
Label ΔABC.
The given information in ΔABC is
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨» «mtr» «mtd» «mo»§#8736;«/mo» «mi»B«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»100«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mi»a«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»5«/mn» «mo».«/mo» «mn»6«/mn» «mo»§#160;«/mo» «mi»ft«/mi» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mi»c«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»4«/mn» «mo».«/mo» «mn»0«/mn» «mo»§#160;«/mo» «mi»ft«/mi» «/mtd» «/mtr» «/mtable» «/math»
Substitute these values into the cosine law to find the length of side AC, or side b.
The length of side AC is 7.4 in.
The given information in ΔABC is
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨» «mtr» «mtd» «mo»§#8736;«/mo» «mi»B«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»100«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mi»a«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»5«/mn» «mo».«/mo» «mn»6«/mn» «mo»§#160;«/mo» «mi»ft«/mi» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mi»c«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»4«/mn» «mo».«/mo» «mn»0«/mn» «mo»§#160;«/mo» «mi»ft«/mi» «/mtd» «/mtr» «/mtable» «/math»
Substitute these values into the cosine law to find the length of side AC, or side b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨»
«mtr»
«mtd»
«msup»
«mi»b«/mi»
«mn»2«/mn»
«/msup»
«/mtd»
«mtd»
«mo»=«/mo»
«/mtd»
«mtd»
«msup»
«mi»a«/mi»
«mn»2«/mn»
«/msup»
«mo»+«/mo»
«msup»
«mi»c«/mi»
«mn»2«/mn»
«/msup»
«mo»-«/mo»
«mn»2«/mn»
«mi»a«/mi»
«mi»c«/mi»
«mi»cos«/mi»
«mi»B«/mi»
«/mtd»
«/mtr»
«mtr»
«mtd»
«msup»
«mi»b«/mi»
«mn»2«/mn»
«/msup»
«/mtd»
«mtd»
«mo»=«/mo»
«/mtd»
«mtd»
«mn»5«/mn»
«mo».«/mo»
«msup»
«mn»6«/mn»
«mn»2«/mn»
«/msup»
«mo»+«/mo»
«mn»4«/mn»
«mo».«/mo»
«msup»
«mn»0«/mn»
«mn»2«/mn»
«/msup»
«mo»-«/mo»
«mn»2«/mn»
«mfenced»
«mrow»
«mn»5«/mn»
«mo».«/mo»
«mn»6«/mn»
«/mrow»
«/mfenced»
«mfenced»
«mrow»
«mn»4«/mn»
«mo».«/mo»
«mn»0«/mn»
«/mrow»
«/mfenced»
«mi»cos«/mi»
«mfenced»
«mrow»
«mn»100«/mn»
«mo»§#176;«/mo»
«/mrow»
«/mfenced»
«/mtd»
«/mtr»
«mtr»
«mtd»«/mtd»
«mtd»
«mo»=«/mo»
«/mtd»
«mtd»
«mn»55«/mn»
«mo».«/mo»
«mn»13943836«/mn»
«/mtd»
«/mtr»
«mtr»
«mtd»
«mi»b«/mi»
«/mtd»
«mtd»
«mo»=«/mo»
«/mtd»
«mtd»
«msqrt»
«mn»55«/mn»
«mo».«/mo»
«mn»13943836«/mn»
«/msqrt»
«/mtd»
«/mtr»
«mtr»
«mtd»«/mtd»
«mtd»
«mo»=«/mo»
«/mtd»
«mtd»
«mn»7«/mn»
«mo».«/mo»
«mn»4«/mn»
«/mtd»
«/mtr»
«/mtable»
«/math»
| Note: When showing your work on assignments and exams, this is an acceptable solution:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨» «mtr» «mtd» «msup mathcolor=¨#191919¨» «mi mathcolor=¨#191919¨»b«/mi» «mn»2«/mn» «/msup» «/mtd» «mtd» «mo mathcolor=¨#191919¨»=«/mo» «/mtd» «mtd» «msup mathcolor=¨#191919¨» «mi mathcolor=¨#191919¨»a«/mi» «mn»2«/mn» «/msup» «mo mathcolor=¨#191919¨»+«/mo» «msup mathcolor=¨#191919¨» «mi mathcolor=¨#191919¨»c«/mi» «mn»2«/mn» «/msup» «mo mathcolor=¨#191919¨»-«/mo» «mn mathcolor=¨#191919¨»2«/mn» «mi mathcolor=¨#191919¨»a«/mi» «mi mathcolor=¨#191919¨»c«/mi» «mi mathcolor=¨#191919¨»c«/mi» «mi mathcolor=¨#191919¨»o«/mi» «mi mathcolor=¨#191919¨»s«/mi» «mi mathcolor=¨#191919¨»B«/mi» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «msup mathcolor=¨#191919¨» «mi mathcolor=¨#191919¨»b«/mi» «mn»2«/mn» «/msup» «/mtd» «mtd» «mo mathcolor=¨#191919¨»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn mathcolor=¨#191919¨»5«/mn» «mo mathcolor=¨#191919¨».«/mo» «msup mathcolor=¨#191919¨» «mn mathcolor=¨#191919¨»6«/mn» «mn»2«/mn» «/msup» «mo mathcolor=¨#191919¨»+«/mo» «mn mathcolor=¨#191919¨»4«/mn» «mo mathcolor=¨#191919¨».«/mo» «msup mathcolor=¨#191919¨» «mn mathcolor=¨#191919¨»0«/mn» «mn»2«/mn» «/msup» «mo mathcolor=¨#191919¨»-«/mo» «mn mathcolor=¨#191919¨»2«/mn» «mfenced mathcolor=¨#191919¨» «mrow» «mn»5«/mn» «mo».«/mo» «mn»6«/mn» «/mrow» «/mfenced» «mfenced mathcolor=¨#191919¨» «mrow» «mn»4«/mn» «mo».«/mo» «mn»0«/mn» «/mrow» «/mfenced» «mi mathcolor=¨#191919¨»c«/mi» «mi mathcolor=¨#191919¨»o«/mi» «mi mathcolor=¨#191919¨»s«/mi» «mfenced mathcolor=¨#191919¨» «mrow» «mn»100«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mrow» «/mfenced» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mi mathcolor=¨#191919¨»b«/mi» «/mtd» «mtd» «mo mathcolor=¨#191919¨»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn mathcolor=¨#191919¨»7«/mn» «mo mathcolor=¨#191919¨».«/mo» «mn mathcolor=¨#191919¨»4«/mn» «/mtd» «/mtr» «/mtable» «/math» |
The length of side AC is 7.4 in.