L3 Solving Word Problems
Completion requirements
Unit A: Geometry
Chapter 3: Trigonometry
Solving Word Problems Using the Sine Law or the Cosine Law
In construction, artistic designs, and industry, various types of workers such as surveyors, artists, and designers depend on trigonometry to find side lengths and angles in triangles. The first step in finding an unknown side or angle is to determine
if the sine law or the cosine law must be used. In this lesson, word problems will be solved using the sine law or the cosine law.
To find missing information in a triangle, three known values must be given. When three sides are given or two sides as well as the angle in between, use the cosine law. Otherwise, use the sine law.
A tunnel is to be built through a mountain. To find the length of the tunnel, a surveyor makes the measurements shown in the diagram.
a.
Should the sine law or the cosine law be used to find the length of the tunnel?
b.
Use the surveyor's data to approximate the length of the tunnel to the nearest tenth of a metre.
a.
The cosine law should be used. The angle given, 85°, is between the two known side lengths.
b.
Label ΔABC.
Note: the triangle can be labelled differently from the diagram below as long as matching pairs are used
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «/math» is opposite side a
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»B«/mi» «/math» is opposite side b
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»C«/mi» «/math» is opposite side c
The given information in ΔABC is
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨» «mtr» «mtd» «mo»§#8736;«/mo» «mi»C«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»85«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mi»a«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»47«/mn» «mo»§#160;«/mo» «mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mi»b«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»36«/mn» «mo»§#160;«/mo» «mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi» «/mtd» «/mtr» «/mtable» «/math»
Substitute these values into the cosine law to find the length of the tunnel, or side c.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨» «mtr» «mtd» «msup» «mi»c«/mi» «mn»2«/mn» «/msup» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «msup» «mi»a«/mi» «mn»2«/mn» «/msup» «mo»+«/mo» «msup» «mi»b«/mi» «mn»2«/mn» «/msup» «mo»-«/mo» «mn»2«/mn» «mi»a«/mi» «mi»b«/mi» «mi»cos«/mi» «mi»C«/mi» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «msup» «mi»c«/mi» «mn»2«/mn» «/msup» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «msup» «mn»47«/mn» «mn»2«/mn» «/msup» «mo»+«/mo» «msup» «mn»36«/mn» «mn»2«/mn» «/msup» «mo»-«/mo» «mn»2«/mn» «mfenced» «mn»47«/mn» «/mfenced» «mfenced» «mn»36«/mn» «/mfenced» «mi»cos«/mi» «mfenced» «mrow» «mn»85«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mrow» «/mfenced» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd»«/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»3«/mn» «mo»§#160;«/mo» «mn»210«/mn» «mo».«/mo» «mn»064967«/mn» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mi»c«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «msqrt» «mn»3«/mn» «mo»§#160;«/mo» «mn»210«/mn» «mo».«/mo» «mn»064967«/mn» «/msqrt» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd»«/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»56«/mn» «mo».«/mo» «mn»7«/mn» «/mtd» «/mtr» «/mtable» «/math»
The length of side of the tunnel (side c) is 56.7 m.
Note: the triangle can be labelled differently from the diagram below as long as matching pairs are used
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»A«/mi» «/math» is opposite side a
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»B«/mi» «/math» is opposite side b
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mo»§#8736;«/mo» «mi»C«/mi» «/math» is opposite side c
The given information in ΔABC is
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨» «mtr» «mtd» «mo»§#8736;«/mo» «mi»C«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»85«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mi»a«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»47«/mn» «mo»§#160;«/mo» «mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mi»b«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»36«/mn» «mo»§#160;«/mo» «mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi» «/mtd» «/mtr» «/mtable» «/math»
Substitute these values into the cosine law to find the length of the tunnel, or side c.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨» «mtr» «mtd» «msup» «mi»c«/mi» «mn»2«/mn» «/msup» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «msup» «mi»a«/mi» «mn»2«/mn» «/msup» «mo»+«/mo» «msup» «mi»b«/mi» «mn»2«/mn» «/msup» «mo»-«/mo» «mn»2«/mn» «mi»a«/mi» «mi»b«/mi» «mi»cos«/mi» «mi»C«/mi» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «msup» «mi»c«/mi» «mn»2«/mn» «/msup» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «msup» «mn»47«/mn» «mn»2«/mn» «/msup» «mo»+«/mo» «msup» «mn»36«/mn» «mn»2«/mn» «/msup» «mo»-«/mo» «mn»2«/mn» «mfenced» «mn»47«/mn» «/mfenced» «mfenced» «mn»36«/mn» «/mfenced» «mi»cos«/mi» «mfenced» «mrow» «mn»85«/mn» «mo»§#176;«/mo» «/mrow» «/mfenced» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd»«/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»3«/mn» «mo»§#160;«/mo» «mn»210«/mn» «mo».«/mo» «mn»064967«/mn» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mi»c«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «msqrt» «mn»3«/mn» «mo»§#160;«/mo» «mn»210«/mn» «mo».«/mo» «mn»064967«/mn» «/msqrt» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd»«/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»56«/mn» «mo».«/mo» «mn»7«/mn» «/mtd» «/mtr» «/mtable» «/math»
The length of side of the tunnel (side c) is 56.7 m.