L5 Slope and Linear Relations
Completion requirements
Unit D: Graphing
Relating Slope and Linear Relations in Real-Life Situations
In this unit, several topics such as slope, direct variation, partial variation, correlation, scatterplots, and trends were covered with respect to linear relations. These concepts will be added to real-life situations.
Mallory owns a business producing goat milk products. Each goat consumes approximately 2.5 pounds of grain per day. Mallory has a total of 20 goats.
-
Determine how much grain Mallory will need each day to feed her goats.
- Complete the table of values showing how much grain Mallory will need.
Time (days)
Amount of Grain (lb)
5
10
15
20
- Determine if the data represents direct variation or partial variation.
- Identify the dependent variable and the independent variable.
- Graph the data showing the amount of grain Mallory requires to feed her goats.
- What trend is displayed on the graph?
- Find the slope of the line.
- Determine an equation that describes the amount of feed Mallory requires for a certain number of days.
- Determine the number of days 400 lb of grain will feed Mallory's goats.
- Determine the amount of grain Mallory needs to feed her goats for the month of July. Recall that July has 31 days.
-
Mallory feeds each of her 20 goats 2.5 pounds of grain per day.
20 goats × 2.5 lb/goat = 50 lb
Mallory requires 50 pounds of grain per day to feed her 20 goats.
-
Time (days)
Amount of Grain (lb)
5 250
calculation 10 500
calculation 15 750
calculation 20 1 000
calculation
- This table of values represents direct variation since the graph passes through the point (0, 0) and the rate of change is constant (as the x-value increases by 5, the y-value increases by 250).
- The amount of feed required is dependent on the number of days, so the dependent variable is the amount of feed and the independent variable is the number of days.
-
The points are connected since the values between the points are possible values. For example, it is possible to have a fraction of a day or a fraction of a pound.
- As the number of days increases, the amount of feed required increases.
- Let (5, 250) = (x1, y1) and (10, 500) = (x2, y2).
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨» «mtr» «mtd» «mi»m«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mfrac» «mrow» «msub» «mi»y«/mi» «mn»2«/mn» «/msub» «mo»-«/mo» «msub» «mi»y«/mi» «mn»1«/mn» «/msub» «/mrow» «mrow» «msub» «mi»x«/mi» «mn»2«/mn» «/msub» «mo»-«/mo» «msub» «mi»x«/mi» «mn»1«/mn» «/msub» «/mrow» «/mfrac» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd»«/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mfrac» «mrow» «mn»500«/mn» «mo»-«/mo» «mn»250«/mn» «/mrow» «mrow» «mn»10«/mn» «mo»-«/mo» «mn»5«/mn» «/mrow» «/mfrac» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd»«/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mfrac» «mn»250«/mn» «mn»5«/mn» «/mfrac» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd»«/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»50«/mn» «/mtd» «/mtr» «/mtable» «/math»
The slope of the line is 50.
- Substitute m into the general equation for direct variation y = mx.
The equation of the line is y = 50x.
-
Determine the value using interpolation. Therefore, 400 lb of grain will feed Mallory's goats for 8 days.
- This question can be solved using the equation of the line, y = 50x, or by reading the graph.
Substitute the value of 31 into the equation of the line.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨» «mtr» «mtd» «mi»y«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»50«/mn» «mi»x«/mi» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mi»y«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»50«/mn» «mfenced» «mn»31«/mn» «/mfenced» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd»«/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»1«/mn» «mo»§#160;«/mo» «mn»550«/mn» «/mtd» «/mtr» «/mtable» «/math»
The same value can be determined by reading directly from the graph using extrapolation. Mallory will need 1 550 lb of grain.
The relationship between degrees Celsius and degrees Fahrenheit represents partial variation. For example, –40 °C is equal to –40 °F and 0 °C is equal to 32 °F. This means that the point (0, 32) is the y-intercept.
- Plot the points (–40, –40) and (0, 32) on a graph. Should there be a line connecting the two points?
- Describe the trend of the line.
- Determine the equation of the line.
- Use the equation to convert 32 °C into degrees Fahrenheit.
- The points should be connected with a line because it is possible to have a fraction of a degree on both axes.
- As the temperature in °C increases, the temperature in °F increases.
- The data represents partial variation so the equation is in the form y = mx + b, where the slope is m and the y-intercept is 32.
Let (–40, –40) = (x1, y1) and (0, 32) = (x2, y2).
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨» «mtr» «mtd» «mi»m«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mfrac» «mrow» «msub» «mi»y«/mi» «mn»2«/mn» «/msub» «mo»-«/mo» «msub» «mi»y«/mi» «mn»1«/mn» «/msub» «/mrow» «mrow» «msub» «mi»x«/mi» «mn»2«/mn» «/msub» «mo»-«/mo» «msub» «mi»x«/mi» «mn»1«/mn» «/msub» «/mrow» «/mfrac» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd»«/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mfrac» «mrow» «mn»32«/mn» «mo»-«/mo» «mfenced» «mrow» «mo»-«/mo» «mn»40«/mn» «/mrow» «/mfenced» «/mrow» «mrow» «mn»0«/mn» «mo»-«/mo» «mfenced» «mrow» «mo»-«/mo» «mn»40«/mn» «/mrow» «/mfenced» «/mrow» «/mfrac» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd»«/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mfrac» «mn»72«/mn» «mn»40«/mn» «/mfrac» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd»«/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»1«/mn» «mo».«/mo» «mn»8«/mn» «/mtd» «/mtr» «/mtable» «/math»
The equation of the line is
y = mx + b
y = 1.8x + 32
-
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨»
«mtr»
«mtd»
«mi»y«/mi»
«/mtd»
«mtd»
«mo»=«/mo»
«/mtd»
«mtd»
«mn»1«/mn»
«mo».«/mo»
«mn»8«/mn»
«mi»x«/mi»
«mo»+«/mo»
«mn»32«/mn»
«/mtd»
«/mtr»
«mtr»
«mtd»
«mi»y«/mi»
«/mtd»
«mtd»
«mo»=«/mo»
«/mtd»
«mtd»
«mn»1«/mn»
«mo».«/mo»
«mn»8«/mn»
«mfenced»
«mn»30«/mn»
«/mfenced»
«mo»+«/mo»
«mn»32«/mn»
«/mtd»
«/mtr»
«mtr»
«mtd»«/mtd»
«mtd»
«mo»=«/mo»
«/mtd»
«mtd»
«mn»54«/mn»
«mo»+«/mo»
«mn»32«/mn»
«/mtd»
«/mtr»
«mtr»
«mtd»«/mtd»
«mtd»
«mo»=«/mo»
«/mtd»
«mtd»
«mn»86«/mn»
«/mtd»
«/mtr»
«/mtable»
«/math»
Therefore, 30 °C is equal to 86 °F.
At a fundraiser for Eli's high school football team, he has to sell 250 boxes of chocolate covered almonds. Eli sells his chocolates to 100 customers.
- Determine two coordinates that can be plotted on the graph, Number of Chocolate Bars Sold Compared to the Number of Customers.
- Plot the points. Should the points be connected?
- On average, how many boxes does each customer purchase? Round the answer to one decimal place.
- Determine the equation of the line.
- After selling to 60 customers, how many boxes of chocolates were sold? Use the equation of the line or the graph to find the answer.
- At zero customers, Eli has sold zero boxes of chocolates. Therefore, one coordinate is (0, 0). A second point occurs at the hundredth customer, when 250 boxes are sold. The second point would be (100, 250).
-
The points should not be connected, as it is not possible to have part of a customer.
-
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨»
«mtr»
«mtd»
«mi»number«/mi»
«mo»§#160;«/mo»
«mi»of«/mi»
«mo»§#160;«/mo»
«mi»chocolate«/mi»
«mo»§#160;«/mo»
«mi»bars«/mi»
«mo»§#160;«/mo»
«mi»sold«/mi»
«mo»§#160;«/mo»
«mi»per«/mi»
«mo»§#160;«/mo»
«mi»customer«/mi»
«/mtd»
«mtd»
«mo»=«/mo»
«/mtd»
«mtd»
«mfrac»
«mi»rise«/mi»
«mi»run«/mi»
«/mfrac»
«/mtd»
«/mtr»
«mtr»
«mtd»«/mtd»
«mtd»
«mo»=«/mo»
«/mtd»
«mtd»
«mfrac»
«mrow»
«mi»change«/mi»
«mo»§#160;«/mo»
«mi»in«/mi»
«mo»§#160;«/mo»
«mi»chocolate«/mi»
«mo»§#160;«/mo»
«mi»bars«/mi»
«/mrow»
«mrow»
«mi»change«/mi»
«mo»§#160;«/mo»
«mi»in«/mi»
«mo»§#160;«/mo»
«mi»number«/mi»
«mo»§#160;«/mo»
«mi»of«/mi»
«mo»§#160;«/mo»
«mi»customers«/mi»
«/mrow»
«/mfrac»
«/mtd»
«/mtr»
«/mtable»
«/math»
Let (0, 0) = (x1, y1) and (100, 250) = (x2, y2).
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mtable columnspacing=¨0px¨ columnalign=¨right center left¨» «mtr» «mtd» «mi»m«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mfrac» «mrow» «msub» «mi»y«/mi» «mn»2«/mn» «/msub» «mo»-«/mo» «msub» «mi»y«/mi» «mn»1«/mn» «/msub» «/mrow» «mrow» «msub» «mi»x«/mi» «mn»2«/mn» «/msub» «mo»-«/mo» «msub» «mi»x«/mi» «mn»1«/mn» «/msub» «/mrow» «/mfrac» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd»«/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mfrac» «mrow» «mn»250«/mn» «mo»-«/mo» «mn»0«/mn» «/mrow» «mrow» «mn»100«/mn» «mo»-«/mo» «mn»0«/mn» «/mrow» «/mfrac» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd»«/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mfrac» «mn»250«/mn» «mn»100«/mn» «/mfrac» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd»«/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»2«/mn» «mo».«/mo» «mn»5«/mn» «/mtd» «/mtr» «/mtable» «/math»
Each customer purchases an average of 2.5 boxes of chocolates.
- Substitute m into the general equation for direct variation, y = mx.
The equation of the line is y = 2.5x.
- Substitute the value of 60 into the equation of the line, y = 2.5x.
y = 2.5x
y = 2.5(60)
y = 150
Since the data is discrete, a dotted line is used to connect the points in order to estimate a value.
Eli sold 150 boxes to 60 customers. This is the same number of chocolates sold as was calculated when using the equation of the line.