Unit 1A

Precalculus

Lesson 3: Compositions of Functions

Two functions, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mstyle»«/math», are found to have the following properties.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».

Find the following:

a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»


a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»f«/mi»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

Given «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»g«/mi»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math», replace «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»g«/mi»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mstyle»«/math» with «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math».



b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»g«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»g«/mi»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»7«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

Given «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math», replace «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«/mstyle»«/math» with «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math».

 

c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

Given «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math», replace «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«/mstyle»«/math» with «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math».

 
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», graph «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»g«/mi»«mo»§#8728;«/mo»«mi»f«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math». State the domains of all three functions.

The domain of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». Even though «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is defined for all real values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math», the composite function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi»))«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is only defined when «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» is defined. As a result, the domain of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi»))«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is also «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»g«/mi»«mo»§#8728;«/mo»«mi»f«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi»))«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»where«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»



While shopping at the mall, a clever Math 31 student noticed a store was offering two coupons applicable to his «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»$«/mo»«mn»100«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» purchase. The first coupon offered a «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»$«/mo»«mn»20«/mn»«/mstyle»«/math» discount, and the second coupon offered «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»15«/mn»«mo»%«/mo»«/mstyle»«/math» off. The coupons could be used in either order. Represent each coupon’s discount as a function of the before-discount cost. Use the functions to determine which coupon order the student should choose to maximize the discount on his purchase.

If the original cost is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math», then «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»20«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is the total amount spent after using the first coupon and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»85«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is the total amount spent after using the second coupon.

Using the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»$«/mo»«mn»20«/mn»«/mstyle»«/math» off coupon first can be represented by the composite function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»g«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»g«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»20«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»85«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»20«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»85«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»17«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

On a «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»$«/mo»«mn»100«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» purchase, the final cost would be as follows.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»g«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mn»100«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»85«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»100«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»17«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi mathvariant=¨normal¨»$«/mi»«mn»68«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

Using the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»15«/mn»«mo»%«/mo»«/mstyle»«/math» off coupon first can be represented by the composite function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»85«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»85«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»20«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

On a «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»$«/mo»«mn»100«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» purchase, the final cost would be as follows.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mn»100«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»85«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»100«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»20«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi mathvariant=¨normal¨»$«/mi»«mn»65«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

To save the most money, the student should use the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»15«/mn»«mo»%«/mo»«/mstyle»«/math» coupon first.