L5 Solving Systems of Equations - Part 4
Completion requirements
Unit 1A
Precalculus
Lesson 5: Solving Systems of Equations
Earlier in the Lesson, it was stated that a system of equations need not contain only linear equations. In fact, a system of equations need not contain any linear equations. Example 3 shows how a quadratic-quadratic system of equations
can be solved graphically and algebraically.
Solve the following system of equations.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi».....«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»Equation«/mi»«mspace
width=¨0.125em¨/»«mspace width=¨0.125em¨/»«mi mathvariant=¨normal¨»A«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»14«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi».....«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»Equation«/mi»«mspace
width=¨0.125em¨/»«mspace width=¨0.125em¨/»«mi mathvariant=¨normal¨»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The elimination and substitution methods are often less time-consuming than a graphical approach when working with quadratics.
Elimination Method
When using elimination, one variable must be entirely eliminated. For this system of equations, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math» can be easily eliminated. Since the coefficients of both «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-variables are the same, subtract Equation B from Equation A to eliminate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math».
Divide each term of the resulting equation by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» to simplify.
Factor the trinomial on the left side of the equation and solve.
The solutions are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math».
Substitute these «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» values into Equation A or Equation B to find the corresponding «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-values.
The solutions to this system of equations are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»68«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»12«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Substitution Method
Rewrite Equation A to isolate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math».
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» in place of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math» into Equation B.
Divide each term of the resulting equation by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» to simplify.
Factor the trinomial on the left side of the equation and solve.
The solutions are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math».
Substitute these «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-values into Equation A or Equation B to find the corresponding «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-values.
The solutions to this system of equations are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»68«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»12«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
To help visualize this system of equations, the functions corresponding to the given equations are graphed below. The points of intersection of the two curves are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»68«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»12«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Elimination Method
When using elimination, one variable must be entirely eliminated. For this system of equations, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math» can be easily eliminated. Since the coefficients of both «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-variables are the same, subtract Equation B from Equation A to eliminate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨ rowlines=¨none solid none¨»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»10«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»14«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»24«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Divide each term of the resulting equation by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» to simplify.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Factor the trinomial on the left side of the equation and solve.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»)(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
The solutions are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math».
Substitute these «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» values into Equation A or Equation B to find the corresponding «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-values.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left center right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»14«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mn»6«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mfenced»«mn»6«/mn»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»14«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»108«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»30«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»and«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«mn»14«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»68«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»68«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd»«mn»12«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr/»«mtr/»«mtr/»«mtr/»«mtr/»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The solutions to this system of equations are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»68«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»12«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Substitution Method
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi».....«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»Equation«/mi»«mspace
width=¨0.125em¨/»«mspace width=¨0.125em¨/»«mi mathvariant=¨normal¨»A«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»14«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi».....«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»Equation«/mi»«mspace
width=¨0.125em¨/»«mspace width=¨0.125em¨/»«mi mathvariant=¨normal¨»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Rewrite Equation A to isolate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»10«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8230;«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»Equation«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»A«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»14«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8230;«/mo»«mo»§#8230;«/mo»«mo»§#8230;«/mo»«mo»§#8230;«/mo»«mo»§#8230;«/mo»«mo»§#8230;«/mo»«mo»§#8230;«/mo»«mo»§#8230;«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»Equation«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» in place of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math» into Equation B.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»14«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»14«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»24«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Divide each term of the resulting equation by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» to simplify.
«math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Factor the trinomial on the left side of the equation and solve.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»)(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
The solutions are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math».
Substitute these «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-values into Equation A or Equation B to find the corresponding «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-values.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left center right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»14«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mn»6«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mfenced»«mn»6«/mn»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»14«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»108«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»30«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»and«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«mn»14«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»68«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»68«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd»«mn»12«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr/»«mtr/»«mtr/»«mtr/»«mtr/»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The solutions to this system of equations are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»68«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»12«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
To help visualize this system of equations, the functions corresponding to the given equations are graphed below. The points of intersection of the two curves are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»68«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»12«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».