L7 Absolute Value and Rational Inequalities - Part 2
Completion requirements
Unit 1A
Precalculus
Lesson 7: Absolute Value and Rational Inequalities
Solve the equation
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mstyle mathsize=¨14px¨»
«mrow»
«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»
«mrow»
«mn»2«/mn»
«mi»x«/mi»
«/mrow»
«/mfenced»
«mo»+«/mo»
«mn»3«/mn»
«mo»=«/mo»
«mn»9«/mn»
«/mrow»
«/mstyle»
«/math».
The solution is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mrow» «mi»x«/mi» «mo»=«/mo» «mo»§#177;«/mo» «mn»3«/mn» «/mrow» «/mstyle» «/math».
Step 1:
Using the definition of absolute value, set up two cases, where one gives the expression within the absolute value symbol as a positive value and the second gives the expression within the absolute value symbol as a negative value.
Step 2:
Solve each case separately.
Case 1
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mtable columnalign=¨right center left¨» «mtr» «mtd» «mo»+«/mo» «mfenced» «mrow» «mn»2«/mn» «mi»x«/mi» «/mrow» «/mfenced» «mo»+«/mo» «mn»3«/mn» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»9«/mn» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mn»2«/mn» «mi»x«/mi» «mo»+«/mo» «mn»3«/mn» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»9«/mn» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mn»2«/mn» «mi»x«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»6«/mn» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mi»x«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»3«/mn» «/mtd» «/mtr» «/mtable» «/mstyle» «/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mtable columnalign=¨right center left¨» «mtr» «mtd» «mo»+«/mo» «mfenced» «mrow» «mn»2«/mn» «mi»x«/mi» «/mrow» «/mfenced» «mo»+«/mo» «mn»3«/mn» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»9«/mn» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mn»2«/mn» «mi»x«/mi» «mo»+«/mo» «mn»3«/mn» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»9«/mn» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mn»2«/mn» «mi»x«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»6«/mn» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mi»x«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»3«/mn» «/mtd» «/mtr» «/mtable» «/mstyle» «/math»
Case 2
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mtable columnalign=¨right center left¨» «mtr» «mtd» «mo»§#8722;«/mo» «mfenced» «mrow» «mn»2«/mn» «mi»x«/mi» «/mrow» «/mfenced» «mo»+«/mo» «mn»3«/mn» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»9«/mn» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mo»§#8722;«/mo» «mn»2«/mn» «mi»x«/mi» «mo»+«/mo» «mn»3«/mn» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»9«/mn» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mo»-«/mo» «mn»2«/mn» «mi»x«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»6«/mn» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mi»x«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mo»-«/mo» «mn»3«/mn» «/mtd» «/mtr» «/mtable» «/mstyle» «/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mtable columnalign=¨right center left¨» «mtr» «mtd» «mo»§#8722;«/mo» «mfenced» «mrow» «mn»2«/mn» «mi»x«/mi» «/mrow» «/mfenced» «mo»+«/mo» «mn»3«/mn» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»9«/mn» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mo»§#8722;«/mo» «mn»2«/mn» «mi»x«/mi» «mo»+«/mo» «mn»3«/mn» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»9«/mn» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mo»-«/mo» «mn»2«/mn» «mi»x«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»6«/mn» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mi»x«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mo»-«/mo» «mn»3«/mn» «/mtd» «/mtr» «/mtable» «/mstyle» «/math»
The solution is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mrow» «mi»x«/mi» «mo»=«/mo» «mo»§#177;«/mo» «mn»3«/mn» «/mrow» «/mstyle» «/math».
Graph the inequality
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mstyle mathsize=¨14px¨»
«mrow»
«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»
«mi»x«/mi»
«/mfenced»
«mo»§#8804;«/mo»
«mn»4«/mn»
«/mrow»
«/mstyle»
«/math»and express the solution using interval notation.
By testing a few numbers, it is possible to find a pattern to the solution.
From the table of values, it can be seen that the solutions to the inequality are all values between, and including, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mrow» «mi»x«/mi» «mo»=«/mo» «mo»§#8722;«/mo» «mn»4«/mn» «/mrow» «/mstyle» «/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mrow» «mi»x«/mi» «mo»=«/mo» «mn»4«/mn» «/mrow» «/mstyle» «/math».
The solution can be represented as an inequality without the use of the absolute value symbol, in interval notation, or on a graph.
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mi»x«/mi» «/mstyle» «/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mfenced open=¨|¨ close=¨|¨» «mi»x«/mi» «/mfenced» «/mstyle» «/math» | Inequality | True? |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mrow» «mo»+«/mo» «mn»6«/mn» «/mrow» «/mstyle» «/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mn»6«/mn» «/mstyle» «/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mrow» «mn»6«/mn» «mo»§#8804;«/mo» «mn»4«/mn» «/mrow» «/mstyle» «/math» | No |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mo»+«/mo» «mn»5«/mn» «/mstyle» «/math» |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mstyle mathsize=¨14px¨»
«mn»5«/mn»
«/mstyle»
«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mstyle mathsize=¨14px¨»
«mn»5«/mn»
«mo»§#8804;«/mo»
«mn»4«/mn»
«/mstyle»
«/math»
|
No |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mo»+«/mo» «mn»4«/mn» «/mstyle» «/math» |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mstyle mathsize=¨14px¨»
«mn»4«/mn»
«/mstyle»
«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mstyle mathsize=¨14px¨»
«mn»4«/mn»
«mo»§#8804;«/mo»
«mn»4«/mn»
«/mstyle»
«/math»
|
Yes |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mo»+«/mo» «mn»3«/mn» «/mstyle» «/math» |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mstyle mathsize=¨14px¨»
«mn»3«/mn»
«/mstyle»
«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mn»3«/mn» «mo»§#8804;«/mo» «mn»4«/mn» «/mstyle» «/math» | Yes |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mo»+«/mo» «mn»2«/mn» «/mstyle» «/math» |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mstyle mathsize=¨14px¨»
«mn»2«/mn»
«/mstyle»
«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mstyle mathsize=¨14px¨»
«mn»2«/mn»
«mo»§#8804;«/mo»
«mn»4«/mn»
«/mstyle»
«/math»
|
Yes |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mo»+«/mo» «mn»1«/mn» «/mstyle» «/math» |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mstyle mathsize=¨14px¨»
«mn»1«/mn»
«/mstyle»
«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mstyle mathsize=¨14px¨»
«mn»1«/mn»
«mo»§#8804;«/mo»
«mn»4«/mn»
«/mstyle»
«/math»
|
Yes |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mn»0«/mn» «/mstyle» «/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mn»0«/mn» «/mstyle» «/math» |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mstyle mathsize=¨14px¨»
«mn»0«/mn»
«mo»§#8804;«/mo»
«mn»4«/mn»
«/mstyle»
«/math»
|
Yes |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mo»-«/mo» «mn»1«/mn» «/mstyle» «/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mn»1«/mn» «/mstyle» «/math» |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mstyle mathsize=¨14px¨»
«mn»1«/mn»
«mo»§#8804;«/mo»
«mn»4«/mn»
«/mstyle»
«/math»
|
Yes |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mo»-«/mo» «mn»2«/mn» «/mstyle» «/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mn»2«/mn» «/mstyle» «/math» |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mstyle mathsize=¨14px¨»
«mn»2«/mn»
«mo»§#8804;«/mo»
«mn»4«/mn»
«/mstyle»
«/math»
|
Yes |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mo»-«/mo» «mn»3«/mn» «/mstyle» «/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mn»3«/mn» «/mstyle» «/math» |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mstyle mathsize=¨14px¨»
«mn»3«/mn»
«mo»§#8804;«/mo»
«mn»4«/mn»
«/mstyle»
«/math»
|
Yes |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mo»-«/mo» «mn»4«/mn» «/mstyle» «/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mn»4«/mn» «/mstyle» «/math» |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mstyle mathsize=¨14px¨»
«mn»4«/mn»
«mo»§#8804;«/mo»
«mn»4«/mn»
«/mstyle»
«/math»
|
Yes |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mo»-«/mo» «mn»5«/mn» «/mstyle» «/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mn»5«/mn» «/mstyle» «/math» |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mstyle mathsize=¨14px¨»
«mn»5«/mn»
«mo»§#8804;«/mo»
«mn»4«/mn»
«/mstyle»
«/math»
|
No |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mo»-«/mo» «mn»6«/mn» «/mstyle» «/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mn»6«/mn» «/mstyle» «/math» |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mstyle mathsize=¨14px¨»
«mrow»
«mn»6«/mn»
«mo»§#8804;«/mo»
«mn»4«/mn»
«/mrow»
«/mstyle»
«/math»
|
No |
From the table of values, it can be seen that the solutions to the inequality are all values between, and including, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mrow» «mi»x«/mi» «mo»=«/mo» «mo»§#8722;«/mo» «mn»4«/mn» «/mrow» «/mstyle» «/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mstyle mathsize=¨14px¨» «mrow» «mi»x«/mi» «mo»=«/mo» «mn»4«/mn» «/mrow» «/mstyle» «/math».
The solution can be represented as an inequality without the use of the absolute value symbol, in interval notation, or on a graph.
inequality:
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mstyle mathsize=¨14px¨»
«mrow»
«mo»§#8722;«/mo»
«mn»4«/mn»
«mo»§#8804;«/mo»
«mi»x«/mi»
«mo»§#8804;«/mo»
«mn»4«/mn»
«/mrow»
«/mstyle»
«/math»
interval notation:
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mstyle mathsize=¨14px¨»
«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»
«mrow»
«mo»§#8722;«/mo»
«mn»4«/mn»
«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»
«mspace width=¨0.33em¨»«/mspace»
«mn»4«/mn»
«/mrow»
«/mfenced»
«/mstyle»
«/math»
graph:
Find the solutions to the equation
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mstyle mathsize=¨14px¨»
«mrow»
«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»
«mrow»
«mn»3«/mn»
«mo»§#8722;«/mo»
«mi»x«/mi»
«/mrow»
«/mfenced»
«mo»=«/mo»
«mn»5«/mn»
«/mrow»
«/mstyle»
«/math».
As shown in Example 2, set up two cases to account for the expression within the absolute value symbol as both a positive and a negative value, and then solve for
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mstyle mathsize=¨14px¨»
«mi»x«/mi»
«/mstyle»
«/math».
The solutions are
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mstyle mathsize=¨14px¨»
«mrow»
«mi»x«/mi»
«mo»=«/mo»
«mn»8«/mn»
«/mrow»
«/mstyle»
«/math»and
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»
«mstyle mathsize=¨14px¨»
«mrow»
«mi»x«/mi»
«mo»=«/mo»
«mo»§#8722;«/mo»
«mn»2«/mn»
«/mrow»
«/mstyle»
«/math».
Case 1
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mtable columnalign=¨right center left¨» «mtr» «mtd» «mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi» «mn»3«/mn» «mo»§#8722;«/mo» «mi»x«/mi» «mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»5«/mn» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mn»3«/mn» «mo»§#8722;«/mo» «mi»x«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»5«/mn» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mo»-«/mo» «mi»x«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»2«/mn» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mi»x«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mo»-«/mo» «mn»2«/mn» «/mtd» «/mtr» «/mtable» «/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mtable columnalign=¨right center left¨» «mtr» «mtd» «mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi» «mn»3«/mn» «mo»§#8722;«/mo» «mi»x«/mi» «mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»5«/mn» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mn»3«/mn» «mo»§#8722;«/mo» «mi»x«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»5«/mn» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mo»-«/mo» «mi»x«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»2«/mn» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mi»x«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mo»-«/mo» «mn»2«/mn» «/mtd» «/mtr» «/mtable» «/math»
Case 2
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mtable columnalign=¨right center left¨» «mtr» «mtd» «mo»§#8722;«/mo» «mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi» «mn»3«/mn» «mo»§#8722;«/mo» «mi»x«/mi» «mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»5«/mn» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mo»§#8722;«/mo» «mn»3«/mn» «mo»+«/mo» «mi»x«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»5«/mn» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mi»x«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»8«/mn» «/mtd» «/mtr» «/mtable» «/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨» «mtable columnalign=¨right center left¨» «mtr» «mtd» «mo»§#8722;«/mo» «mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi» «mn»3«/mn» «mo»§#8722;«/mo» «mi»x«/mi» «mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»5«/mn» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mo»§#8722;«/mo» «mn»3«/mn» «mo»+«/mo» «mi»x«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»5«/mn» «/mtd» «/mtr» «mtr» «mtd» «mi»x«/mi» «/mtd» «mtd» «mo»=«/mo» «/mtd» «mtd» «mn»8«/mn» «/mtd» «/mtr» «/mtable» «/math»