L7 Absolute Value and Rational Inequalities - Practice 1
Completion requirements
Unit 1A
Precalculus
Lesson 7: Absolute Value and Rational Inequalities
Practice
Once you feel confident with absolute value equations and inequalities, click on the Practice tab and complete problems 1 to 3. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
1.
Solve the inequality «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8804;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
and graph the solution. Express the solution in interval notation.
2.
Solve the inequality «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8805;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
and graph the solution. Express the solution in interval notation.
3.
Solve the inequality «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#62;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
and graph the solution. Express the solution in interval notation.
1.
Solve the inequality «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8804;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
and graph the solution. Express the solution in interval notation.
Method 1
Using the definition of absolute value, set up two cases to account for the expression within the absolute value symbol as both a positive and a negative value, and then solve for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».
The solution is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». This solution can be written as a single inequality, «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8804;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Method 2
Using the definition of absolute value, the inequality «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8804;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» can be rewritten as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8804;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». Solve this inequality by isolating «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».
The solution is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8804;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». In interval
notation, the solution is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Graphically, the solution is as follows.
Using the definition of absolute value, set up two cases to account for the expression within the absolute value symbol as both a positive and a negative value, and then solve for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».
Case 1
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Case 2
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Method 2
Using the definition of absolute value, the inequality «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8804;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» can be rewritten as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8804;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». Solve this inequality by isolating «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
| Note that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8805;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» can also
be written as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8804;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
|
Graphically, the solution is as follows.
2.
Solve the inequality «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8805;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
and graph the solution. Express the solution in interval notation.
Method 1
Method 2 - NOT recommended since an incorrect interpretation of an interval is needed.
The inequality «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8805;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» can be rewritten as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#8805;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8805;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The solution is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». [ technically this gives no solution ]
In interval notation, the solution is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced close=¨]¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8746;«/mo»«mfenced open=¨[¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Graphically, the solution is as follows.
Case 1
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Case 2
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Method 2 - NOT recommended since an incorrect interpretation of an interval is needed.
The inequality «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8805;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» can be rewritten as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#8805;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8805;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#8805;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8805;«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8805;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#8805;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The solution is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». [ technically this gives no solution ]
In interval notation, the solution is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced close=¨]¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8746;«/mo»«mfenced open=¨[¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Graphically, the solution is as follows.
3.
Solve the inequality «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#62;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
and graph the solution. Express the solution in interval notation.
In interval notation, the solution is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8746;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi
mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Graphically, the solution is as follows.
Case 1
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Case 2
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#60;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#60;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Graphically, the solution is as follows.