L7 Absolute Value and Rational Inequalities - Practice 3
Completion requirements
Unit 1A
Precalculus
Lesson 7: Absolute Value and Rational Inequalities
Practice
Once you feel confident with absolute value rational inequalities, click on the Practice tab and complete problems 1 and 2. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
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1.
Solve the inequality «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced open=¨|¨
close=¨|¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«mo»§#62;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and graph the solution.
2.
Solve the inequality «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced
open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn mathvariant=¨italic¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«mo»§#8804;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
1.
Solve the inequality «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced
open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«mo»§#62;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and graph the solution.
To solve this inequality, remember to consider the four possible cases based on the signs of the expressions within the absolute value symbols.
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» | |
| Case 1
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»+«/mo»«/mstyle»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»+«/mo»«/mstyle»«/math» |
| Case 2
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»+«/mo»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«/mstyle»«/math» |
| Case 3
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»+«/mo»«/mstyle»«/math» |
| Case 4
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«/mstyle»«/math» |
Case 1:
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The solution to Case 1 will be in the interval «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Because both binomials are positive in this case, the solution is as follows.
As the solution to this case must be in the interval «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math», the solution obtained from this case is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Because both binomials are positive in this case, the solution is as follows.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«menclose
notation=¨downdiagonalstrike¨»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/menclose»«/mfrac»«menclose notation=¨downdiagonalstrike¨»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/menclose»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
As the solution to this case must be in the interval «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math», the solution obtained from this case is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Case 2:
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The solution to Case 2 will be in the interval «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi
mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Since this case assumes «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» to be negative, the solution is as follows.
Because the solution must be in the interval «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math», the solution obtained from this case is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Since this case assumes «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» to be negative, the solution is as follows.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«menclose
notation=¨downdiagonalstrike¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/menclose»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«menclose notation=¨downdiagonalstrike¨»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/menclose»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»§#8729;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Because the solution must be in the interval «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math», the solution obtained from this case is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Case 3:
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The solution to Case 3 must be less than «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»,
but greater than «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math». As this is impossible, there is no solution to this case.
Case 4:
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The solution to Case 4 will be in the interval «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Because the solution must be in the interval «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math», the solution obtained from this case is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Combining the solutions from Case 1, 3, and 4 gives «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8746;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8746;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Graphically, the solution is as follows. Graph the functions «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». Find the values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» for which the graph «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» lies above the line «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«menclose
notation=¨downdiagonalstrike¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/menclose»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«menclose notation=¨downdiagonalstrike¨»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/menclose»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»§#8729;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#60;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Because the solution must be in the interval «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math», the solution obtained from this case is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Combining the solutions from Case 1, 3, and 4 gives «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8746;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8746;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Graphically, the solution is as follows. Graph the functions «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». Find the values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» for which the graph «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» lies above the line «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
2.
Solve the inequality «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced
open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn mathvariant=¨italic¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«mo»§#8804;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
If x minus 3 equals 0, or x equals 3, the original inequality would yield 0 less than 2. As such, the endpoint needs to be included in cases where x minus 3 is positive, that is Case 1 and Case 2.
Case 1:
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The solution to Case 1 will be in the interval «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨[¨»«mrow»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«menclose notation=¨downdiagonalstrike¨»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/menclose»«/mfrac»«menclose notation=¨downdiagonalstrike¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/menclose»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»7«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
As the solution to this case must be in the interval «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨[¨»«mrow»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math», the solution obtained from this case is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨[¨»«mrow»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«menclose notation=¨downdiagonalstrike¨»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/menclose»«/mfrac»«menclose notation=¨downdiagonalstrike¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/menclose»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»7«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
As the solution to this case must be in the interval «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨[¨»«mrow»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math», the solution obtained from this case is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨[¨»«mrow»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Case 2:
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
This is impossible. Consider the next case.
Case 3:
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The solution to Case 3 will be in the interval «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
As the solution to this case must be in the interval «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math», the solution obtained from this case is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨[¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«menclose notation=¨downdiagonalstrike¨»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/menclose»«/mfrac»«menclose notation=¨downdiagonalstrike¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/menclose»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8805;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
As the solution to this case must be in the interval «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math», the solution obtained from this case is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨[¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Case 4:
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The solution to Case 4 will be in the interval «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
As the solution to this case must be in the interval «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math», the solution obtained from this case is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»(«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»7«/mn»«mo»]«/mo»«/mstyle»«/math».
Combining the solutions from Cases 1, 3, and 4 gives «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced close=¨]¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8746;«/mo»«mfenced open=¨[¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8746;«/mo»«mfenced open=¨[¨»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced close=¨]¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8746;«/mo»«mfenced open=¨[¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi
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notation=¨downdiagonalstrike¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/menclose»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
As the solution to this case must be in the interval «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math», the solution obtained from this case is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»(«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»7«/mn»«mo»]«/mo»«/mstyle»«/math».
Combining the solutions from Cases 1, 3, and 4 gives «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced close=¨]¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8746;«/mo»«mfenced open=¨[¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8746;«/mo»«mfenced open=¨[¨»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced close=¨]¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8746;«/mo»«mfenced open=¨[¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».