L8 Quadratic Inequalities - Part 5
Completion requirements
Unit 1A
Precalculus
Lesson 8: Quadratic Inequalities
There are many other examples of quadratic inequalities. The examples below will explore them in more detail.
Algebraically solve «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
and graph the solution on a number line.
Factor the left side of the inequality.
In this example, the product of the two factors must be positive to make the inequality true. This means the factors must have the same sign. The two possible cases are shown below.
Combining these two intervals produces the solution «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8746;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Graphically this is shown as follows.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
In this example, the product of the two factors must be positive to make the inequality true. This means the factors must have the same sign. The two possible cases are shown below.
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math»
|
|
| Case 1
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»+«/mo»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»+«/mo»«/mstyle»«/math»
|
| Case 2
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«/mstyle»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«/mstyle»«/math» |
Case 1:
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», then «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math».
The interval that meets both these conditions is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Case 2:
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», then «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The interval that meets both these conditions is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Combining these two intervals produces the solution «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8746;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Graphically this is shown as follows.
Graphically solve «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#60;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». Express
the solution in interval notation.
Move all terms to the left side of the inequality. The right side will be zero.
Factor the left side.
The roots of the corresponding quadratic equation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». Since the leading coefficient of the related function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is positive, the graph will open upward.
Sketch the graph of the related function, and then identify the region(s) where the graph lies below the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-axis.
The graph lies below the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-axis between «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The solution can be written as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#60;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»,
or in interval notation as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Factor the left side.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
The roots of the corresponding quadratic equation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». Since the leading coefficient of the related function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is positive, the graph will open upward.
Sketch the graph of the related function, and then identify the region(s) where the graph lies below the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-axis.
| Because the inequality contains a less than (but not equal to) symbol, the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-intercepts are shown as open circles. |