L2 Algebraic Limits - Practice 2
Completion requirements
Unit 1B
Limits
Lesson 2: Algebraic Limits
Practice
Once you feel confident with algebraic analysis of limits involving rational expressions, click on the Practice tab and complete problems 1 to 5. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
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1.
Evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
2.
Evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
3.
Evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
4.
Evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
5.
Evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»27«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
1.
Evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the limit function.
The limit is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The limit is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
2.
Evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the limit function.
Since «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»0«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» is undefined, the limit does not exist.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»0«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Since «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»0«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» is undefined, the limit does not exist.
3.
Evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the limit function.
As this is of indeterminate form, a method other than substitution must be used.
Factor the numerator and simplify.
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the simplified limit function to evaluate the limit.
The limit is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»8«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»0«/mn»«mn»0«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
As this is of indeterminate form, a method other than substitution must be used.
Factor the numerator and simplify.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«menclose
notation=¨updiagonalstrike¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/menclose»«/mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/menclose»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/munder»«mspace
width=¨0.125em¨/»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the simplified limit function to evaluate the limit.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨center center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/munder»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»8«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The limit is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»8«/mn»«/mstyle»«/math».
4.
Evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the limit function.
As this is of indeterminate form, a method other than substitution must be used.
Expand the binomial, combine like terms in the numerator, simplify, and evaluate.
The limit is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»8«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«mn»0«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»0«/mn»«mn»0«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
As this is of indeterminate form, a method other than substitution must be used.
Expand the binomial, combine like terms in the numerator, simplify, and evaluate.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»16«/mn»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«menclose
notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»h«/mi»«/menclose»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»h«/mi»«/menclose»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»8«/mn»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»8«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The limit is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»8«/mn»«/mstyle»«/math».
5.
Evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»27«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the limit function.
As this is of indeterminate form, a method other than substitution must be used.
The numerator can be factored using long division or synthetic division.
Using long division with «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» as the divisor results as follows.
This means «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»27«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» factors to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Express the numerator in factored form, simplify, and evaluate.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»27«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»27«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»0«/mn»«mn»0«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
As this is of indeterminate form, a method other than substitution must be used.
The numerator can be factored using long division or synthetic division.
Using long division with «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» as the divisor results as follows.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mlongdiv charalign=¨center¨ charspacing=¨0px¨ stackalign=¨left¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mrow»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«mi»x«/mi»«sup»«mn»2«/mn»«/sup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«msgroup»«msrow»«mi»x«/mi»«sup»«mn»3«/mn»«/sup»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«mi»x«/mi»«sup»«mn»2«/mn»«/sup»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»27«/mn»«/msrow»«msrow»«mi»x«/mi»«sup»«mn»3«/mn»«/sup»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«sup»«mn»2«/mn»«/sup»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«/msrow»«msline
length=¨6¨/»«msrow»«none/»«none/»«none/»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«sup»«mn»2«/mn»«/sup»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«mi»x«/mi»«/msrow»«msrow»«none/»«none/»«none/»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«sup»«mn»2«/mn»«/sup»«mo»-«/mo»«mn»9«/mn»«mi»x«/mi»«/msrow»«msline
length=¨6¨ position=¨3¨/»«msrow»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«mn»9«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»27«/mn»«/msrow»«msrow»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«mn»9«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»27«/mn»«/msrow»«msline
length=¨5¨ position=¨7¨/»«msrow»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«mn»0«/mn»«/msrow»«/msgroup»«/mlongdiv»«/mstyle»«/math»
This means «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»27«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» factors to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Express the numerator in factored form, simplify, and evaluate.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»27«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«menclose
notation=¨updiagonalstrike¨»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/menclose»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mfenced»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/menclose»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»27«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
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