Unit 1B

Limits

Lesson 2: Algebraic Limits

Example 7

Evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».

Solution

Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the limit function.

Once again, substitution reveals a limit of indeterminate form. In this case neither factoring nor rationalizing are possible. However, it is possible to add the fractions in the numerator, simplify, and evaluate the limit.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mi»x«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mfenced»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/menclose»«/mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mfenced»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/menclose»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»4«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»16«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

To divide rational expressions, multiply by the reciprocal of the second rational expression.

The limit is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»16«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».

The graph of function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» is shown below. As an «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» is approached from both the left and right, it can be seen the limit is a very small negative value, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»16«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».