L2 Algebraic Limits - Practice 3
Completion requirements
Unit 1B
Limits
Lesson 2: Algebraic Limits
Practice
Once you feel confident with additional algebraic analysis of limits, click on the Practice tab and complete problems 1 to 3. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
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1.
Evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
2.
Evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
3.
Evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
1.
Evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
When «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is substituted into the limit function, the result is the
indeterminate form «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mn»0«/mn»«mn»0«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math».
Rationalize the numerator by multiplying the numerator and denominator by the conjugate of the numerator, simplify, and evaluate.
The limit is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Rationalize the numerator by multiplying the numerator and denominator by the conjugate of the numerator, simplify, and evaluate.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac
mathcolor=¨#0080FF¨»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«msqrt»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«mo»+«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«menclose
notation=¨updiagonalstrike¨»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/menclose»«/mrow»«mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/menclose»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«msqrt»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The limit is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
2.
Evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the limit function.
Since substitution alone was successful, no additional algebraic analysis is necessary.
The limit is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»18«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»15«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mn»1«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Since substitution alone was successful, no additional algebraic analysis is necessary.
The limit is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math».
3.
Evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
When «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is substituted into the limit function, the result is the
indeterminate form, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mn»0«/mn»«mn»0«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math».
Rationalize the denominator by multiplying the numerator and denominator by the conjugate of the denominator, simplify, and evaluate.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0080FF¨»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«msup»«mfenced»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»x«/mi»«/menclose»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»x«/mi»«/menclose»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The value of the limit, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math», can be verified by graphing the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math». As «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math» is approached from the left and the right, the value of the function approaches «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math».
The open circle indicates the value of the function is indeterminate at that point.
Rationalize the denominator by multiplying the numerator and denominator by the conjugate of the denominator, simplify, and evaluate.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0080FF¨»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«msup»«mfenced»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»x«/mi»«/menclose»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»x«/mi»«/menclose»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The value of the limit, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math», can be verified by graphing the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math». As «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math» is approached from the left and the right, the value of the function approaches «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math».
The open circle indicates the value of the function is indeterminate at that point.