L4 Limits at Infinity - Practice 2
Completion requirements
Unit 1B
Limits
Lesson 4: Limits at Infinity
Practice
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Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
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1.
Determine «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«msqrt»«mn»9«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
2.
Find the following limits, if they exist.
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mn»5«/mn»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
c.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mi»x«/mi»«/msup»«/math»
d.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
e.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
3.
Astrophysicists currently believe there are three possibilities for the expansion of the universe. Depending on the amount of matter, energy, and the pull of gravity, the expansion of the universe may increase, producing an ever larger
universe. It may also slow down, but never completely stop as the universe approaches a maximum size. Or, it may reach a maximum, and then collapse in on itself. Three functions are graphed below, each representing one of these possibilities.
Identify which function matches each description, and using the graphs, determine the size of the universe as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»t«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math».
a.
the universe’s expansion increases indefinitely
b.
the universe’s expansion slows down as the universe approaches a maximum size
c.
the universe expands and then collapses in on itself.
1.
Determine «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«msqrt»«mn»9«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The highest degree variable in the denominator is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math», or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» under the root sign. Divide all terms by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».
Because the denominator contains a radical, it is important to consider the two limits separately, one as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» and the other as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math».
First, find the limit as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math». Since «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msqrt»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«mo»=«/mo»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Now find the limit as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math». Since «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msqrt»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«mo»=«/mo»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Two different values suggest the lines «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math» will be horizontal asymptotes on the graph of the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«msqrt»«mn»9«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math», as shown below.
Because the denominator contains a radical, it is important to consider the two limits separately, one as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» and the other as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math».
First, find the limit as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math». Since «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msqrt»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«mo»=«/mo»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«msqrt»«mn»9«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mi»x«/mi»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mrow»«msqrt»«mfrac»«mrow»«mn»9«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/msqrt»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mrow»«msqrt»«mn»9«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/msqrt»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«msqrt»«mn»9«/mn»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Now find the limit as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math». Since «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msqrt»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«mo»=«/mo»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«msqrt»«mn»9«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mi»x«/mi»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msqrt»«mfrac»«mrow»«mn»9«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/msqrt»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msqrt»«mn»9«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/msqrt»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msqrt»«mn»9«/mn»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Two different values suggest the lines «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math» will be horizontal asymptotes on the graph of the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«msqrt»«mn»9«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math», as shown below.
2.
Find the following limits, if they exist.
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mn»5«/mn»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
c.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mi»x«/mi»«/msup»«/math»
d.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
e.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mn»5«/mn»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mn»5«/mn»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
As larger and larger values are substituted in for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math», the value of the limit function gets smaller and smaller, and eventually approaches «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mn»5«/mn»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
As larger and larger values are substituted in for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math», the value of the limit function gets smaller and smaller, and eventually approaches «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math».
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8734;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8734;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
As larger and larger values are substituted in for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math», the value of the limit function gets larger and larger, but never approaches a value. Therefore, the limit is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#8734;«/mo»«/mstyle»«/math», or does not exist.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8734;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8734;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
As larger and larger values are substituted in for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math», the value of the limit function gets larger and larger, but never approaches a value. Therefore, the limit is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#8734;«/mo»«/mstyle»«/math», or does not exist.
c.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mi»x«/mi»«/msup»«/math»
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»n«/mi»«/mfenced»«mo»§#60;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», then «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»n«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math». Because «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» is less than «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math», the value of the limit function will approach «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math».
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»n«/mi»«/mfenced»«mo»§#60;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», then «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»n«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math». Because «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» is less than «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math», the value of the limit function will approach «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math».
d.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»n«/mi»«/mfenced»«mo»§#60;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», then «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»n«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math». Because «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» is greater than «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math», the value of the limit function does not approach zero. In fact, because «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», the limit function will oscillate between very large positive and very large negative values as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math». As such, the limit does not exist.
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»n«/mi»«/mfenced»«mo»§#60;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», then «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»n«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math». Because «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» is greater than «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math», the value of the limit function does not approach zero. In fact, because «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», the limit function will oscillate between very large positive and very large negative values as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math». As such, the limit does not exist.
e.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
As larger and larger values are substituted in for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math», the value of the limit function gets larger and larger, but approaches a value. Therefore, the limit is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#8734;«/mo»«/mstyle»«/math», or does not exist.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8734;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8734;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
As larger and larger values are substituted in for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math», the value of the limit function gets larger and larger, but approaches a value. Therefore, the limit is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#8734;«/mo»«/mstyle»«/math», or does not exist.
3.
Astrophysicists currently believe there are three possibilities for the expansion of the universe. Depending on the amount of matter, energy, and the pull of gravity, the expansion of the universe may increase, producing an ever
larger universe. It may also slow down, but never completely stop as the universe approaches a maximum size. Or, it may reach a maximum, and then collapse in on itself. Three functions are graphed below, each representing one
of these possibilities. Identify which function matches each description, and using the graphs, determine the size of the universe as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»t«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math».
a.
the universe’s expansion increases indefinitely
b.
the universe’s expansion slows down as the universe approaches a maximum size
c.
the universe expands and then collapses in on itself.
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» represents the universe’s expansion
increasing indefinitely.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math» represents the universe’s expansion slowing
down as the universe approaches a maximum size.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»k«/mi»«/mstyle»«/math»
c.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math» represents the universe that expands and
then collapses in on itself. Once it reaches zero in size, the function value stays at zero forever.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math»