L5 Continuity - Part 4
Completion requirements
Unit 1B
Limits
Lesson 5: Continuity
A piecewise function is defined as follows.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced open=¨{¨ close=¨¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
a.
Sketch the graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
b.
Find the following limits, if they exist.
i.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mi»f«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
ii.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mi»f«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
iii.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
a.
The first part of the function is linear, with a slope of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and a «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math»,
but it is only defined on the interval «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Graph the line for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». The second part of the function
is a quadratic, with a vertex at the origin. Graph this curve for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Note in the graph below, the dashed lines are used to sketch an accurate graph. However, the dashed lines are not part of the graph of the piecewise function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», defined above.
Removing the dashed lines results in the graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», shown below.
Note in the graph below, the dashed lines are used to sketch an accurate graph. However, the dashed lines are not part of the graph of the piecewise function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», defined above.
Removing the dashed lines results in the graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», shown below.
b.
Find the following limits, if they exist.
The function is discontinuous at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
i.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mi»f«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
ii.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mi»f«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
iii.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» Does not exist because the left and right-hand limits are not equal.
The function is discontinuous at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
For which value(s) of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»A«/mi»«/mstyle»«/math» is the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced open=¨{¨ close=¨¨»«mtable»«mtr»«mtd»«msup»«mi»A«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»A«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» continuous at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»?
Evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
To find the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»A«/mi»«/mstyle»«/math»-value(s), equate the two limits, and solve for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»A«/mi»«/mstyle»«/math».
The graphs below show that when «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», the function is continuous at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
For «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»:
For «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»:
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mi»g«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»A«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»A«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»A«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»A«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»A«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»A«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The left and right-hand limits must be equal for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» to be continuous at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»A«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»A«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»A«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»A«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»A«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»A«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
To find the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»A«/mi»«/mstyle»«/math»-value(s), equate the two limits, and solve for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»A«/mi»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»A«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»A«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»A«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»A«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»A«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
| Move all terms to one side of the equation, factor, and solve. |
For «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»:
For «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»: