L6 Limits of Sequences and Series - Practice 2
Completion requirements
Unit 1B
Limits
Lesson 6: Limits of Sequences and Series
Practice
Once you feel confident with infinite geometric series, click on the Practice tab and complete problems 1 to 4. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
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1.
Find the sum of the infinite geometric series «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»16«/mn»«mn»9«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mo»§#8943;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math».
2.
Find the sum of the infinite geometric series «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»16«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mo»§#8943;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
using
a.
the formula for the sum of an infinite geometric series
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»a«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»a«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mi»n«/mi»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
3.
An infinite geometric series has «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»t«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»t«/mi»«mn»4«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»9«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Determine the following.
Determine the following.
a.
the common ratio
b.
the sum of the series
4.
In a research lab, an antibiotic is tested by exposing it to bacteria. Because of the presence of the antibiotic, the number of new bacteria in each new generation is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»30«/mn»«mo»%«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» less than the number in the previous generation. If there were initially «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»24«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
bacteria, determine the total number of bacteria exposed to the antibiotic.
1.
Find the sum of the infinite geometric series «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»16«/mn»«mn»9«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mo»§#8943;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Find «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»a«/mi»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»r«/mi»«/mstyle»«/math»,
and then «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»S«/mi»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»r«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msub»«mi»t«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»a«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»6«/mn»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»6«/mn»«mfenced»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»18«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
2.
Find the sum of the infinite geometric series «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»16«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mo»§#8943;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
using
a.
the formula for the sum of an infinite geometric series
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»a«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»a«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mi»n«/mi»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
a.
Find «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»a«/mi»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mi»r«/mi»«/mstyle»«/math», and then «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»S«/mi»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»r«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msub»«mi»t«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»4«/mn»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»4«/mn»«mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»16«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»4«/mn»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»4«/mn»«mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»16«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
b.
Substitute in the values for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»a«/mi»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mi»r«/mi»«/mstyle»«/math», and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»n«/mi»«/mstyle»«/math» to find the limit.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»a«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»a«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mi»n«/mi»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«msup»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mi»n«/mi»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«msup»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mi»n«/mi»«/msup»«/mrow»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»4«/mn»«mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»16«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
3.
An infinite geometric series has «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»t«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»t«/mi»«mn»4«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»9«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Determine the following.
Determine the following.
a.
the common ratio
b.
the sum of the series
a.
The common ratio formula «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msub»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«msub»«mi»t«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
can be rewritten as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»t«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Subsequent terms can also be expressed in this way.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»t«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mrow»«/mstyle»«/math» Equation A
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»t«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«/mrow»«/mstyle»«/math» Equation B
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»t«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»t«/mi»«mn»4«/mn»«/msub»«/mrow»«/mstyle»«/math» Equation C
Substituting «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»t«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mstyle»«/math» in Equation B gives «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»t«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msub»«mi»t«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«/mrow»«/mstyle»«/math».
And, substituting «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»t«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«/mstyle»«/math» in Equation C gives «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»t«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msub»«mi»t«/mi»«mn»4«/mn»«/msub»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»4«/mn»«/msub»«/mstyle»«/math» are given in the problem. Substitute these values into the new equation.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»t«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mrow»«/mstyle»«/math» Equation A
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»t«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«/mrow»«/mstyle»«/math» Equation B
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»t«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»t«/mi»«mn»4«/mn»«/msub»«/mrow»«/mstyle»«/math» Equation C
Substituting «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»t«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mstyle»«/math» in Equation B gives «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»t«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msub»«mi»t«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«/mrow»«/mstyle»«/math».
And, substituting «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»t«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«/mstyle»«/math» in Equation C gives «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»t«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msub»«mi»t«/mi»«mn»4«/mn»«/msub»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»4«/mn»«/msub»«/mstyle»«/math» are given in the problem. Substitute these values into the new equation.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msub»«mi»t«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»t«/mi»«mn»4«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»9«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»27«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»r«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
b.
Using the formula «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»S«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»a«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»,
determine the sum of the infinite geometric series.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msub»«mi»S«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»3«/mn»«mfenced»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»9«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
4.
In a research lab, an antibiotic is tested by exposing it to bacteria. Because of the presence of the antibiotic, the number of new bacteria in each new generation is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»30«/mn»«mo»%«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» less than the number in the previous generation. If there were initially «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»24«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
bacteria, determine the total number of bacteria exposed to the antibiotic.
The initial number of bacteria is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mn»24«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Each subsequent generation of bacteria contains «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»70«/mn»«mo»%«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» of the bacteria from
the previous generation. As a result, the common ratio is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»70«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The total number of bacteria can be determined using the formula for the sum of an infinite geometric series.
The total number of bacteria can be determined using the formula for the sum of an infinite geometric series.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»a«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»24«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»000«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»70«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»24«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»24«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»
«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«/mrow»«mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»10«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»80«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»000«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»