L2 Definition of a Derivative - Part 3
Completion requirements
Unit 2A
Derivatives Part 1
Lesson 2: Definition of a Derivative
Find the derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
using first principles.
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/math». That is, the slope of the line tangent to the curve is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» for all «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»h«/mi»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
| As function notation is being used, substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» into «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math». |
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/math». That is, the slope of the line tangent to the curve is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» for all «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».
Determine the slope of the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math»
at the point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math», using first principles.
The slope of a function at a point is the same as the slope of the line tangent to the function at that same point.
Begin by finding the derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math» using first principles.
To find the slope, substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the expression for the derivative,
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mstyle»«/math».
The slope of the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math» at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math».
Begin by finding the derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math» using first principles.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«msqrt»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#FF0000¨»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»h«/mi»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mi»h«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
| Remember: Multiply by the conjugate to rationalize the numerator.
Additional rationalizing numerator examples can be found in Unit 1 Section B Lesson 2 . |
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»6«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»6«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»4«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The slope of the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math» at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math».
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