L2 Definition of a Derivative - Practice 2
Completion requirements
Unit 2A
Derivatives Part 1
Lesson 2: Definition of a Derivative
Practice
Once you feel confident with differentiability, click on the Practice tab and complete problems 1 to 3. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
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1.
Sketch the graph of the derivative of the function graphed below.
2.
For what values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» is the function shown not differentiable? Justify.
3.
Algebraically show «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
is not differentiable at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
1.
Sketch the graph of the derivative of the function graphed below.
Starting from the top left of the original function, the slopes of the lines tangent to the curve are negative. Moving down and to the right, the slopes remain negative, but the curve is less steep, so the slope increases. This continues until just after «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», where the slope of the line tangent to the curve is zero. Moving up and to the right some more, the slopes are positive. Just before «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math», the slope of the line tangent to the curve is zero once again. Continuing down and to the right, the slopes are negative once again.
Step 1:
Find the derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
using first principles.
The derivative of the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»h«/mi»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The derivative of the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/math».
Step 2:
Create a table of values to calculate the slope of the function for a variety of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-values.
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math» |
Step 3:
Plot the points and connect them with a smooth curve.
Starting from the top left of the original function, the slopes of the lines tangent to the curve are negative. Moving down and to the right, the slopes remain negative, but the curve is less steep, so the slope increases. This continues until just after «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», where the slope of the line tangent to the curve is zero. Moving up and to the right some more, the slopes are positive. Just before «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math», the slope of the line tangent to the curve is zero once again. Continuing down and to the right, the slopes are negative once again.
2.
For what values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» is the function shown not differentiable? Justify.
The function is not differentiable at the following «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-values.
- «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
There is a cusp in the graph.
- «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
There is a cusp in the graph.
- «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math»
The function is discontinuous at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math»; «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mn»6«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» must be defined for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mo»`«/mo»«mfenced»«mn»6«/mn»«/mfenced»«/mstyle»«/math» to exist.
- «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»7«/mn»«/mstyle»«/math»
The limit from the right side, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»7«/mn»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»7«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math», does not exist. The function is not defined for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
3.
Algebraically show «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
is not differentiable at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Applying the definition of the derivative and showing the limits from the right and left are different at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
is sufficient to conclude the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
is not differentiable at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Determine the limit from the left at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
When «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math», the value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» is positive and the value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«/mstyle»«/math» is negative. As such, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mstyle»«/math» can be simplified to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Determine the limit from the right at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
When «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math», the value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» is positive and the value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«/mstyle»«/math» is positive. As such, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mstyle»«/math» can be simplified to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Since the limit from the left is not equal to the limit from the right, the derivative at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» does not exist; that is, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/math» is not defined. Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» is not differentiable at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» is shown. A corner at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» confirms the function is not differentiable at that point.
Determine the limit from the left at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mi»)(«/mi»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mn»0«/mn»«/mfenced»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mn»12«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
When «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math», the value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» is positive and the value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«/mstyle»«/math» is negative. As such, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mstyle»«/math» can be simplified to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»12«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Determine the limit from the right at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mi»)(«/mi»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mn»0«/mn»«/mfenced»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mn»12«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
When «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math», the value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» is positive and the value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«/mstyle»«/math» is positive. As such, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mstyle»«/math» can be simplified to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mrow»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»12«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Since the limit from the left is not equal to the limit from the right, the derivative at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» does not exist; that is, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/math» is not defined. Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» is not differentiable at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» is shown. A corner at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» confirms the function is not differentiable at that point.