Unit 2A

Derivatives Part 1

Lesson 3: The Power Rule and The Sum and Differences Rules of Derivatives

Using the power rule, find the derivative of each of the following functions.

a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»

b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»79«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»

c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»

d.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»10«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»

a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn mathcolor=¨#FF0000¨»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mn mathcolor=¨#FF0000¨»4«/mn»«mo mathcolor=¨#FF0000¨»§#8722;«/mo»«mn mathcolor=¨#FF0000¨»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»79«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn mathcolor=¨#FF0000¨»79«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mn mathcolor=¨#FF0000¨»79«/mn»«mo mathcolor=¨#FF0000¨»§#8722;«/mo»«mn mathcolor=¨#FF0000¨»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»79«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»78«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo mathcolor=¨#FF0000¨»§#8722;«/mo»«mn mathcolor=¨#FF0000¨»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo mathcolor=¨#FF0000¨»§#8722;«/mo»«mn mathcolor=¨#FF0000¨»3«/mn»«mo mathcolor=¨#FF0000¨»§#8722;«/mo»«mn mathcolor=¨#FF0000¨»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

Rewrite all solutions with positive exponents.

d.
Rewrite «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»10«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»g«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo mathcolor=¨#FF0000¨»§#8722;«/mo»«mn mathcolor=¨#FF0000¨»10«/mn»«msup mathcolor=¨#FF0000¨»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»11«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»11«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

The next two rules, the constant multiple rule and the constant rule, are variations of the power rule.

The Constant Multiple Rule

The constant multiple rule is similar to the power rule. Keep the constant in front of the function, and then find the derivative of the function.

The Constant Multiple Rule
For «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»c«/mi»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»g«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»c«/mi»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math».

Alternative notation: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»c«/mi»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»c«/mi»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»

Differentiate the following functions.

a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»

b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»

c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math»

a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mn mathcolor=¨#FF0000¨»5«/mn»«/mfenced»«msup mathcolor=¨#FF0000¨»«mi»x«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»15«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»g«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mo mathcolor=¨#FF0000¨»§#8722;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#FF0000¨»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo mathcolor=¨#FF0000¨»§#8722;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#FF0000¨»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo mathcolor=¨#FF0000¨»§#8722;«/mo»«mn mathcolor=¨#FF0000¨»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»7«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»7«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«mroot»«msup»«mi»x«/mi»«mn»7«/mn»«/msup»«mn»4«/mn»«/mroot»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math»

Rewrite this function as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mfrac mathcolor=¨#FF0000¨»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mfrac mathcolor=¨#FF0000¨»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo mathcolor=¨#FF0000¨»§#8722;«/mo»«mn mathcolor=¨#FF0000¨»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Note: You may be wondering how simplified final answers need to be. For the problem to the left, either «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» would be fine.

In general, solutions should be expressed with positive exponents, but there are times when factoring, finding a common denominator, or expressing solutions with radicals instead of exponents makes further simplification possible, as you will see in Lesson 4.  With practice, you will start to notice when an expression can likely be made simpler.